Kąt pełny podzielono półprostymi na cztery kąty w ten sposób, że miara każdego następnego kąta jest o [tex]\alpha[/tex] większa od miary poprzedniego kąta. Różnica miar pomiędzy największym i najmniejszym kątem wynosi [tex]90^{\circ}[/tex]. Znajdź wartość [tex]\alpha[/tex] oraz miary kątów.

Zadanie dodane przez jk1968 , 18.10.2011 11:50

Kąt pełny podzielono półprostymi na cztery kąty w ten sposób, że miara każdego następnego kąta jest o $\alpha$ większa od miary poprzedniego kąta. Różnica miar pomiędzy największym i najmniejszym kątem wynosi $90^{\circ}$ . Znajdź wartość $\alpha$ oraz miary kątów.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 20.10.2011 22:29

Niech $\beta$ oznacza miarę pierwszego kąta.
Wówczas drugi kąt ma miarę $\beta +\alpha$ ,
trzeci kąt będzie mieć miarę $\beta +2\alpha$ ,
a czwarty kąt jest równy $\beta +3\alpha$ .

Wszystkie te kąty razem tworzą kąt pełny ( $360^{\circ }$ ), a więc:

$\beta +(\beta +\alpha )+(\beta +2\alpha )+(\beta +3\alpha )=360^{\circ }$
$\Downarrow$
$4\beta +6\alpha =360^{\circ }$ (*)

Dalej wiemy, iż różnica miar pomiędzy największym i najmniejszym kątem wynosi $90^{\circ }$ , co można zapisać jako:

$(\beta+3\alpha) -\beta =90^{\circ }$
$\Downarrow$
$3\alpha =90^{\circ }$
$\Downarrow$
$\alpha =30^{\circ }$

Wracając teraz do równania oznaczonego (*) można wyznaczyć miarę kąta $\beta$ :

$4\beta +6* 30^{\circ }=360^{\circ }$
$\Downarrow$
$4\beta =360^{\circ }-180^{\circ }$
$\Downarrow$
$4\beta =180^{\circ }$
$\Downarrow$
$\beta =45^{\circ }$

A więc miary poszczególnych kątów to: $45^{\circ }$ , $75^{\circ }$ , $105^{\circ }$ i $135^{\circ }$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: