Promień koła wpisanego w trójkąt prostokątny równa się 1. Punkt styczności tego okręgu z przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki, których stosunek równa się 2:1. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Zadanie dodane przez anitusia1994 , 02.05.2012 12:50

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 02.05.2012 14:03

Rysunek w załączniku.
$r=1$
Z własności trójkąta prostokątnego masz:
$(1+\frac{1}{3}x)^{2} + (1+\frac{2}{3}x)^{2}= x^{2}$
$x^{2} - 1 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^{2} - 1 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{9}x^{2}= 0$
$\frac{4}{9}x^{2} - 2x - 2= 0$
$2x^{2} - 9x - 9= 0$
$\Delta= 81 + 72= 153$
$\sqrt{\Delta}= \sqrt{153}= 3\sqrt{17}$
$x_{1}= \cfrac{9 - 3\sqrt{17}}{4}$
$x_{2}= \cfrac{9 + 3\sqrt{17}}{4}$
Długość boku nie może być ujemna, więc $x_{1}$ odpada.
Czyli boki będą miały długości:
$x= \cfrac{9 + 3\sqrt{17}}{4}$
$1+\frac{1}{3}x= \cfrac{4}{4} + \cfrac{3 + \sqrt{17}}{4}= \cfrac{7 + \sqrt{17}}{4}$
$1+\frac{2}{3}x= \cfrac{4}{4} + \cfrac{6 + 2\sqrt{17}}{4}= \cfrac{10 + 2\sqrt{17}}{4}$

$P= \cfrac{1}{2} * \cfrac{7 + \sqrt{17}}{4} * \cfrac{10 + 2\sqrt{17}}{4}= \cfrac{7 + \sqrt{17}}{4} * \cfrac{5 + \sqrt{17}}{4}$

$Obw= \cfrac{9 + 3\sqrt{17}}{4} + \cfrac{7 + \sqrt{17}}{4} + \cfrac{10 + 2\sqrt{17}}{4}= \cfrac{13 + 3\sqrt{17}}{2}$

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Promień koła wpisanego w trójkąt prostokątny równa się 1. Punkt styczności tego okręgu z przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki, których stosunek równa się 2:1. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: