W prostokąt o bokach długości 24 i 32 wpisano w sposób pokazany na rysunku dwa styczne okręgi o równych promieniach. Oblicz długość promieni okręgów.

Zadanie dodane przez Patryk_17 , 15.05.2012 15:37

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 15.05.2012 17:07

Zauważmy (patrz załącznik), że:
$r+r+y+r=32$
Podobnie w pionie (promieni nie rysowałam, żeby nie pogarszać czytelności rysunku):
$r+x+r=24$
Jednocześnie z trójkąta prostokątnego:
$x^{2}+y^{2}=(2r)^{2}$
Mamy więc trzy równania, trzy niewiadome, z których najbardziej interesuje nas r:
$3r+y=32$
$2r+x=24$
$x^{2}+(r+y)^{2}=(2r)^{2}$
Z pierwszego wyznaczam y, z drugiego x i podstawiam do trzeciego:
$y=32-3r$
$x=24-2r$
$(24-2r)^{2}+(32-2r)^{2}=(2r)^{2}$
Teraz mogę się już zająć tylko ostatnim z równań. Podnoszę do kwadratu każdy z nawiasów:
$24^{2}-2* 24* 2r+(2r)^{2}+32^{2}-2* 32* 2r+(2r)^{2}=(2r)^{2}$
$576-96r+4r^{2}+1024-128r+4r^{2}=4r^{2}$
Odejmuję stronami $4r^{2}$ i porządkuję to, co zostało:
$1600-224r+4r^{2}=0$
Dzielę obie strony przez 4, żeby mieć mniejsze współczynniki:
$400-56r+r^{2}=0$
Trzeba rozwiązać to równanie kwadratowe np. licząc deltę:
$\Delta=56^{2}-4* 400=1536$
$\sqrt{\Delta}=16\sqrt{6}$
$r=\cfrac{56-16\sqrt{6}}{2}=28-8\sqrt{6}$
$\vee$
$r=\cfrac{56+16\sqrt{6}}{2}=28+8\sqrt{6}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

W prostokąt o bokach długości 24 i 32 wpisano w sposób pokazany na rysunku dwa styczne okręgi o równych promieniach. Oblicz długość promieni okręgów.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: