W trójkącie równoramiennym ramiona są długości $\sqrt{5}$ cm, a kąt między tymi ramionami ma miarę $120^{\circ}$ .Oblicz: a)Pole tego trójkąta; b)Pole koła wpisanego w ten trójkąt; c)Pole koła opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 3542 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Misia94xD , 07.06.2012 09:06
Misia94xd 20120607082456 thumb
W trójkącie równoramiennym ramiona są długości \sqrt{5} cm, a kąt między tymi ramionami ma miarę 120^{\circ} .Oblicz:
a)Pole tego trójkąta;
b)Pole koła wpisanego w ten trójkąt;
c)Pole koła opisanego na tym trójkącie.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 07.06.2012 09:31
Science4u 20110912181541 thumb

Jeżeli poprowadzimy wysokość h w tym trójkącie, to podzieli ona ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o charakterystycznych kątach 90^{\circ }, 60^{\circ } i 30^{\circ }. Przeciwprostokątną będzie ramię \sqrt{5}, a przyprostokątnymi h oraz \cfrac{a}{2} - czyli połowa podstawy.

Z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy:

\sin 30^{\circ }=\cfrac{h}{\sqrt{5}}

\cfrac{1}{2}=\cfrac{h}{\sqrt{5}}
\Downarrow
h=\cfrac{\sqrt{5}}{2}

oraz:

\sin 60^{\circ }=\cfrac{\cfrac{a}{2}}{\sqrt{5}}

\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\cfrac{a}{2}}{\sqrt{5}}

\cfrac{\sqrt{15}}{2}=\cfrac{a}{2}
\Downarrow
a=\sqrt{15}

a)

P=\cfrac{a* h}{2}=\cfrac{\sqrt{15}* \cfrac{\sqrt{5}}{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{75}}{4}=\cfrac{5\sqrt{3}}{4}

b)

r=\cfrac{2* P}{a+b+c}=\cfrac{2* \cfrac{5\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}=\cfrac{5\sqrt{3}}{2(\sqrt{15}+2\sqrt{5})}

Chyba nie ma sensu usuwać tutaj niewymierności z mianownika.

P_w=\pi r^2=\left ( \cfrac{5\sqrt{3}}{2(\sqrt{15}+2\sqrt{5})}\right ) ^2 \pi

c)

R=\cfrac{a* b* c}{4* P}=\cfrac{\sqrt{15}* \sqrt{5}* \sqrt{5}}{4* \cfrac{5\sqrt{3}}{4}}=\cfrac{5\sqrt{15}}{5\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\sqrt{5}

P_o=\pi R^2=5\pi
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.