W trójkącie równoramiennym ramiona są długości $\sqrt{5}$ cm, a kąt między tymi ramionami ma miarę $120^{\circ}$ .Oblicz: a)Pole tego trójkąta; b)Pole koła wpisanego w ten trójkąt; c)Pole koła opisanego na tym trójkącie.

Zadanie dodane przez Misia94xD , 07.06.2012 09:06

W trójkącie równoramiennym ramiona są długości $\sqrt{5}$ cm, a kąt między tymi ramionami ma miarę $120^{\circ}$ .Oblicz:
a)Pole tego trójkąta;
b)Pole koła wpisanego w ten trójkąt;
c)Pole koła opisanego na tym trójkącie.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 07.06.2012 09:31

Jeżeli poprowadzimy wysokość $h$ w tym trójkącie, to podzieli ona ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o charakterystycznych kątach $90^{\circ }$ , $60^{\circ }$ i $30^{\circ }$ . Przeciwprostokątną będzie ramię $\sqrt{5}$ , a przyprostokątnymi $h$ oraz $\cfrac{a}{2}$ - czyli połowa podstawy.

Z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy:

$\sin 30^{\circ }=\cfrac{h}{\sqrt{5}}$

$\cfrac{1}{2}=\cfrac{h}{\sqrt{5}}$
$\Downarrow$
$h=\cfrac{\sqrt{5}}{2}$

oraz:

$\sin 60^{\circ }=\cfrac{\cfrac{a}{2}}{\sqrt{5}}$

$\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\cfrac{a}{2}}{\sqrt{5}}$

$\cfrac{\sqrt{15}}{2}=\cfrac{a}{2}$
$\Downarrow$
$a=\sqrt{15}$

a)

$P=\cfrac{a* h}{2}=\cfrac{\sqrt{15}* \cfrac{\sqrt{5}}{2}}{2}=\cfrac{\sqrt{75}}{4}=\cfrac{5\sqrt{3}}{4}$

b)

$r=\cfrac{2* P}{a+b+c}=\cfrac{2* \cfrac{5\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}=\cfrac{5\sqrt{3}}{2(\sqrt{15}+2\sqrt{5})}$

Chyba nie ma sensu usuwać tutaj niewymierności z mianownika.

$P_w=\pi r^2=\left ( \cfrac{5\sqrt{3}}{2(\sqrt{15}+2\sqrt{5})}\right ) ^2 \pi$

c)

$R=\cfrac{a* b* c}{4* P}=\cfrac{\sqrt{15}* \sqrt{5}* \sqrt{5}}{4* \cfrac{5\sqrt{3}}{4}}=\cfrac{5\sqrt{15}}{5\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\sqrt{5}$

$P_o=\pi R^2=5\pi$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

W trójkącie równoramiennym ramiona są długości $\sqrt{5}$ cm, a kąt między tymi ramionami ma miarę $120^{\circ}$ .Oblicz: a)Pole tego trójkąta; b)Pole koła wpisanego w ten trójkąt; c)Pole koła opisanego na tym trójkącie.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: