1.21/10 Miary kolejnych kątów wielokąta wypukłego różnią się o 10 stopni. Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę 100 stopni. Ile boków ma wielokąt?

Zadanie dodane przez aga4804 , 13.09.2013 12:39

1.21/10
Miary kolejnych kątów wielokąta wypukłego różnią się o 10 stopni. Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę 100 stopni. Ile boków ma wielokąt?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez iron_slax , 13.09.2013 16:44

1) Miary kąta różnią się o 10 - wniosek: jest to ciąg arytmetyczny
2) Najmniejszy ma miarę 100 stopni - wniosek: jest to pierwszy element
3) Wzór na sumę kątów w wielokącie o n bokach już Ci podałem w poprzednim zadaniu. Znajdziesz to
4) Musisz utworzyć zapisać i rozwiązać równanie:
suma wszystkich kolejnych kątów* tego wielokąta musi być równa sumie kątów ze wzoru z pkt 3)

*trzeba skorzystać z sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. $\frac{a_{1}+a_{n}}{2} * n$

$a_{1} = 100$
$a_{n} = a_{1} + r * (n-1)$
$a_{n} = 100 + 10 * (n-1) = 100 + 10n - 10 = 90 + 10n$

$\frac{100 + 90 + 10n}{2} * n = 180 * (n-2)$
$95n+5n^2=180n-360$
$n^2-17n+72=0$
$\Delta=289-288=1$
$n_1=\frac{17-1}{2}=8$ $\vee\ n=\frac{17+1}{2}=9$

Z równania otrzymujemy dwa rozwiązania: wielokąt ma 8 albo 9 boków.
Teraz trzeba to sprawdzić. Musimy policzyć jak wyglądają miary kątów w tych figurach.

1) Ośmiokąt:
$a_{1} = 100$
$a_{8} = 100 + 10 * (8-1) = 170^{\circ}$

2) Dziewięciokąt
$a_{1} = 100$
$a_{9} = 100 + 10 * (9-1) = 180^{\circ}$ - ostatni kąt ma 180 stopni czyli jest kątem półpełnym. Nie może istnieć taka figura.

Odp. Figura ma 8 kątów/boków.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

1.21/10 Miary kolejnych kątów wielokąta wypukłego różnią się o 10 stopni. Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę 100 stopni. Ile boków ma wielokąt?

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: