Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 6. Oblicz tangens kąta $\alpha$=

Zadanie dodane przez dawid11204 , 27.11.2011 17:48

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 6. Oblicz tangens kąta $\alpha$ =

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 16.05.2012 17:01

Tu nawet o jedną daną za dużo ;).
Zajmijmy się trójkątem ABD. Kąt przy wierzchołku A to $\alpha$ , przy wierzchołku B: $60^{\circ}$ , a przy wierzchołku D: $180^{\circ}-(60^{\circ}+\alpha)$ .
Z twierdzenia sinusów:
$\cfrac {|BD|}{ \sin \alpha } = \cfrac {|AB|}{ \sin (180^{\circ}-(60^{\circ}+\alpha ))}$
$\cfrac {\frac{1}{3}|AB|}{\sin \alpha } = \cfrac{|AB|}{\sin (180^{\circ}-(60^{\circ}+\alpha ))}$
Dzielimy stronami przez |AB| i redukujemy drugi sinus do drugiej ćwiartki (będzie więc dodatni):
$\cfrac {\frac{1}{3}}{\sin \alpha } = \cfrac{1}{\sin (60^{\circ}+\alpha )}$
Dla uproszczenia mnożymy przez 3 i na krzyż:
$\sin (60^{\circ}+\alpha )=3\sin \alpha$
Rozpisujemy lewą stronę jako sinus sumy kątów:
$\sin 60^{\circ}\cos \alpha + \cos 60^{\circ}\sin \alpha =3\sin \alpha$
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha =3\sin \alpha$
Dzielimy obie strony przez $\cos \alpha$ :
$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\tan \alpha =3\tan \alpha$
$2,5\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 6. Oblicz tangens kąta $\alpha$=

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: