Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=(2-m^{2})x^{2}+4mx+4m$. Suma odwrotności miejsc zerowych jest mniejsza od ($-m^{2}$). Wyznacz m.

Zadanie dodane przez dawid11204 , 14.03.2012 17:33

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=(2-m^{2})x^{2}+4mx+4m$ . Suma odwrotności miejsc zerowych jest mniejsza od ( $-m^{2}$ ). Wyznacz m.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 18.03.2012 18:04

Na początek założenie $a\neq 0$ , tak aby mieć pewność, że $f$ jest funkcją kwadratową:

$a\neq 0$
$2-m^2\neq 0$
$m^2\neq 2$
$\Downarrow$
(*) $m\neq \sqrt{2}$ oraz $m\neq -\sqrt{2}$

Dalej, aby mówić o odwrotności miejsc zerowych koniecznie $\Delta$ musi być większa od zera, tak aby funkcja $f$ rzeczywiście miała dwa pierwiastki rzeczywiste:

$\Delta >0$
$16m^2-16m(2-m^2)>0$
$16m(m-2+m^2)>0$
$16m(m^2+m-2)>0$

$\Delta _m=1+8=9$ , $\sqrt{\Delta _m}=3$

$m_1=\frac{-1-3}{2}=-2$

$m_2=\frac{-1+3}{2}=1$

Więc nierówność $\Delta >0$ przyjmuje postać:

$16m(m+2)(m-1)>0$

Rozwiązaniem tej nierówności wielomianowej jest suma przedziałów:
$m\in (-2,0)\cup (1,+\infty )$

Konfrontując otrzymane rozwiązanie z założeniem (*) mamy:

(**) $m\in (-2,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},0)\cup (1,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$

Na koniec rozpatrzmy warunek, że suma odwrotności miejsc zerowych jest mniejsza od $-m^2$ :

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<-m^2$

$\frac{x_2}{x_1* x_2}+\frac{x_1}{x_2* x_1}<-m^2$

$\frac{x_1+x_2}{x_1* x_2}<-m^2$

Ze wzorów Viete'a mamy:

$\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}}<-m^2$

$\frac{-b}{a}* \frac{a}{c}<-m^2$

$\frac{-b}{c}<-m^2$

$\frac{-4m}{4m}<-m^2$

$-1<-m^2$
$m^2-1<0$
$(m-1)(m+1)<0$

Rozwiązaniem tej nierówności kwadratowej jest oczywiście przedział: $m\in (-1,1)$ , ale konfrontując go z warunkiem (**) otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{}$ m\in (-1,0) $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=(2-m^{2})x^{2}+4mx+4m$. Suma odwrotności miejsc zerowych jest mniejsza od ($-m^{2}$). Wyznacz m.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: