Pierwiastkami równania $x^{2}$-2px+p=0 są dwie różne liczby $x_{1}$, $x_{2}$. Stosując wzory Viete'a zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru p, dla której iloczyn ($x_{1}$+5$x_{2}$)($x_{2}$+5$x_{1}$) osiąga wartość 13.

Zadanie dodane przez anitusia1994 , 12.12.2011 13:56

Pierwiastkami równania $x^{2}$ -2px+p=0 są dwie różne liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ . Stosując wzory Viete'a zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru p, dla której iloczyn ( $x_{1}$ +5 $x_{2}$ )( $x_{2}$ +5 $x_{1}$ ) osiąga wartość 13.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 23.12.2011 07:09

Skoro istnieją dwie różne liczby $x_1$ i $x_2$ to znaczy, że na pewno $\Delta >0$ , stąd otrzymujemy warunek:

$4p^2-4p>0$
$p^2-p>0$
$p(p-1)>0$
$\Downarrow$
(*) $p\in (-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

Teraz zależność pomiędzy pierwiastkami:

$(x_1+5x_2)(x_2+5x_1)=13$
$x_1x_2+5x_1^2+5x_2^2+25x_1x_2=13$
$5(x_1^2+x_2^2)+26x_1x_2=13$
$5\left [ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right ] +26x_1x_2=13$
$5(x_1+x_2)^2-10x_1x_2+26x_1x_2=13$
$5(x_1+x_2)^2+16x_2x_2=13$

Teraz skorzystam ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

$x_1x_2=\frac{c}{a}$

Stąd:

$5(2p)^2+16p=13$
$20p^2+16p-13=0$

$\Delta _p=256-4* 20* (-13)=256+1040=1296$ , $\sqrt{\Delta _p}=36$

$p_1=\frac{-16-36}{40}=\frac{-52}{40}=-\frac{13}{10}$ $\leftarrow$ spełnia założenie (*)

$p_2=\frac{-16+36}{40}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$ $\leftarrow$ nie spełnia założenia (*)

Rozwiązanie:

Dla $p=-\frac{13}{10}$ taka sytuacja ma miesjce.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Pierwiastkami równania $x^{2}$-2px+p=0 są dwie różne liczby $x_{1}$, $x_{2}$. Stosując wzory Viete'a zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru p, dla której iloczyn ($x_{1}$+5$x_{2}$)($x_{2}$+5$x_{1}$) osiąga wartość 13.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: