Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=a$x^{2}$+bx+1 dla x należącego do zbioru liczb rzeczywistych. a) Wyznacz wzór tej funkcji tak, aby f(-1)=-3 i f(4)=-3 b) Dla wyznaczonych współczynników a i b, wyznacz największą wartość funkcji w przedziale domkniętym <1,2>. c) Dla wyznaczonych współczynników a i b rozwiąż nierówność f(x)>1

Zadanie dodane przez anitusia1994 , 12.12.2011 14:00

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x)=a $x^{2}$ +bx+1 dla x należącego do zbioru liczb rzeczywistych.
a) Wyznacz wzór tej funkcji tak, aby f(-1)=-3 i f(4)=-3
b) Dla wyznaczonych współczynników a i b, wyznacz największą wartość funkcji w przedziale domkniętym <1,2>.
c) Dla wyznaczonych współczynników a i b rozwiąż nierówność f(x)>1

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 13.12.2011 10:24

a)
$ \left \{ \begin{array}{l} f(-1)=-3\\ f(4)=-3 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} a-b+1=-3\\ 16a+4b+1=-3 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} 4a-4b+4=-12\\ 16a+4b+1=-3 \end{array}\right . $

Po dodaniu stronami powyższych równań otrzymujemy:

$20a+5=-15$
$20a=-20$
$\Downarrow$
$a=-1$
$b=3$

Stąd: $f(x)=-x^2+3x+1$

b)
$f(1)=-1+3+1=3$
$f(2)=-4+6+1=3$

Jeszcze należy sprawdzić, czy przypadkiem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $W=(p,q)$ nie zawiera się we wskazanym przedziale:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{-2}=1,5$ $\Rightarrow p\in\langle 1,2\rangle$

$f(1.5)=-2,25+4,5+1=3,25$

Zatem największą wartością funkcji $f$ w przedziale $\langle 1,2\rangle$ jest $3,25$ oraz jest ona osiągana dla argumentu $1,5$ .

c)
$-x^2+3x+1>1$
$-x^2+3x>0$
$-x(x-3)>0$
$\Downarrow$
$x\in (0,3)$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: