Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=$x^2$+(m+2)x+1-2. Dla jakiej wartości m połowa sumy dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f jest mniejsza od iloczynu tych miejsc zerowych?

Zadanie dodane przez konto-usuniete , 18.12.2011 17:56

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)= $x^2$ +(m+2)x+1-2. Dla jakiej wartości m połowa sumy dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f jest mniejsza od iloczynu tych miejsc zerowych?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 20.12.2011 09:38

$f(x)=x^2+(m+2)x+1-2=x^2+(m+2)x-1$

Aby w ogóle istniały dwa różne miejsca zerowe, to koniecznie $\Delta >0$ , zatem:

$(m+2)^2-4* 1* (-1)>0$

$(m+2)^2+4>0$

$(m+2)^2>-4$

Powyższa nierówność jest spełniona dla każdego $m$ , gdyż jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi drugiej zawsze jest większa lub równa zeru, a więc w szczególności jest większa od $-4$ .

Teraz rozpatrzmy kolejny warunek zadania:

$\frac{x_1+x_2}{2}<x_1* x_2$

Skorzystam ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$

$x_1* x_2=\frac{c}{a}$

Zatem:

$\frac{\frac{-b}{a}}{2}<\frac{c}{a}$

$\frac{-b}{2a}<\frac{c}{a}$

$\frac{-m-2}{2}<\frac{-1}{1}$

$\frac{-m-2}{2}<-1$

$-m-2<-2$

$-m<0$

$m>0$

Zatem ostatecznym rozwiązaniem jest $m\in (0,+\infty )$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=$x^2$+(m+2)x+1-2. Dla jakiej wartości m połowa sumy dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f jest mniejsza od iloczynu tych miejsc zerowych?

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: