Przekrój osiowy walca jest prostokątem o obwodzie 12. Oblicz największe możliwe pole powierzchni takiego walca.

Zadanie 3300 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Pchelka , 25.04.2012 12:39
Default avatar
Przekrój osiowy walca jest prostokątem o obwodzie 12. Oblicz największe możliwe pole powierzchni takiego walca.

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 25.04.2012 13:57
Science4u 20110912181541 thumb

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach 2\pi r\times h, gdzie r to promień podstawy walca, a h to jego wysokość.

Z treści zadania otrzymujemy następującą zależność:

2* 2\pi r+2* h=12
\Downarrow
h=6-2\pi r

Pole powierzchni całkowitej walca wyraża się wzorem:

P=2* P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh

Wykorzystując powyższe równanie otrzymujemy wzór na pole powierzchni całkowitej, zależne od r:

P=2\pi r^2 +2\pi r(6-2\pi r)

P=2\pi r^2+12\pi r-4\pi r^2

P=-2\pi r^2+12\pi r

Powyższą zależność można potraktować jako funkcję kwadratową. Jej największa wartość jest osiągana w wierzchołku, a więc dla:
r_{max}=\frac{-b}{2a}=\frac{-12\pi }{-4\pi }=3
Wartość tego największego pola jest równa:
P_{max}=-2\pi \cdot 3^2+12\pi \cdot 3=-18\pi +36\pi =18\pi
    • D mek 20120307223004 thumb
      d_mek 25.04.2012 16:45

      Przekrój osiowy, a nie pole powierzchni bocznej ;)

    • Science4u 20110912181541 thumb
      Science4U 26.04.2012 17:51

      Słuszna uwaga, dziękuję za czujność, zaraz to poprawię. :)

Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez Science4U , 26.04.2012 17:58
Science4u 20110912181541 thumb

Użytkownik d_mek słusznie zwrócił uwagę, iż w zadaniu chodziło o przekrój osiowy walca, a ten jest prostokątem o wymiarach 2r\times h, gdzie r to promień podstawy walca, a h to jego wysokość.

Z treści zadania otrzymujemy następującą zależność:

2* 2r+2* h=12
\Downarrow
h=6-2r

Pole powierzchni całkowitej walca wyraża się wzorem:

P=2* P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh

Wykorzystując powyższe równanie otrzymujemy wzór na pole powierzchni całkowitej, zależne od r:

P=2\pi r^2 +2\pi r(6-2r)

P=2\pi r^2+12\pi r-4\pi r^2

P=-2\pi r^2+12\pi r

Powyższą zależność można potraktować jako funkcję kwadratową. Jej największa wartość jest osiągana w wierzchołku, a więc dla:
r_{max}=\frac{-b}{2a}=\frac{-12\pi }{-4\pi }=3
Wartość tego największego pola jest równa:
P_{max}=-2\pi \cdot 3^2+12\pi \cdot 3=-18\pi +36\pi =18\pi
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.