Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania: x^(2)-mx+m^(2)-3m-2=0 jest największa?

Zadanie dodane przez Maturalny442 , 09.12.2012 18:40

Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania:
x^(2)-mx+m^(2)-3m-2=0 jest największa?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 10.12.2012 10:39

$x^2-mx+m^2-3m-2=0$

Po pierwsze, aby istniały w ogóle dwa pierwiastki, to musi być spełniony warunek:

$\Delta >0$

$(-m)^2-4* 1* (m^2-3m-2)>0$

$m^2-4m^2+12m+8>0$

$-3m^2+12m+8>0$

$\Delta _m=144+12* 8=240$ , $\sqrt{\Delta _m}=4\sqrt{15}$

$m_1=\cfrac{-12-4\sqrt{15}}{-6}=\cfrac{6+2\sqrt{15}}{3}$

$m_2=\cfrac{-12+4\sqrt{15}}{-6}=\cfrac{6-2\sqrt{15}}{3}$

Stąd założenie jest następujące:

$m\in \left ( \cfrac{6-2\sqrt{15}}{3},\cfrac{6+2\sqrt{15}}{3}\right )$

Teraz zajmijmy się samym warunkiem:

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

Skorzystam ze wzorów Viete'a i oznaczę ten warunek jako funkję $g(m)$ , a następnie znajdę jej największą wartość:

$g(m)=\left ( \cfrac{-b}{a}\right ) ^2-2* \cfrac{c}{a}$

$g(m)=m^2-2* (m^2-3m-2)$

$g(m)=-m^2+6m+4$

To funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą z ramionami skierowanymi "w dół", a więc największa jej wartość jest osiągana w wierzchołku:

$m_{max}=\cfrac{-6}{-2}=3$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania: x^(2)-mx+m^(2)-3m-2=0 jest największa?

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: