Dla jakich wartości parametru k nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x należących do R. x^{2} - kx +k + 1 jest większe lub równe od zera

Zadanie 5722 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Jerzyk , 18.02.2013 09:05
Default avatar
Dla jakich wartości parametru k nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x należących do R.
x^{2} - kx +k + 1 jest większe lub równe od zera

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 19.02.2013 17:41
Annas 20120518205519 thumb
x^{2} - kx +k + 1 \geq 0 jest nierównością kwadratową ze względu na x.
Żeby była ona spełniona dla wszystkich x, musimy mieć conajwyżej jedno miejsce zerowe (bo warunek, żeby współczynnik przy x^2 był dodatni jest spełniony). Jedno miejsce zerowe jest wtedy, gdy delta równania kwadratowego jest równa zeru. Natomiast dla delty ujemnej będziemy mieli same dodatnie wartości.

Współczynniki nierówności:
a=1
b=-k
c=k+1

Obliczamy deltę:
\Delta = k^2-4(k+1) = k^2-4k-4

Delta musi być mniejsza bądź równa zero, zatem:

k^2-4k-4 \leq 0

I to jest nasz jedyny warunek do tego zadania. Musimy znaleźć k, które będzie spełniało ten warunek, czyli musimy rozwiązać nierówność kwadratową z niewiadomą k.

Znajdujemy miejsca zerowe nierówności, obliczając deltę tej nowej nierówności:

\Delta = 4^2-4 * (-4)= 16 * 2
\sqrt {\Delta} = 4 \sqrt 2

k_1 = \cfrac{4-4 \sqrt 2}{2}=2-2 \sqrt 2 lub k_2 = 2+2 \sqrt 2

Współczynnik przy kwadracie k jest dodatni, więc ramiona paraboli będą skierowane w górę. Zatem k^2-4k-4 \leq 0 wtedy, gdy k \in <2-2 \sqrt 2; 2+2 \sqrt 2>

Dla takich k nierówność x^{2} - kx +k + 1 \geq 0 jest spełniona dla wszystkich x \in \mathbb {R}.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.