Dla jakich wartości parametru k nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x należących do R. x^{2} - kx +k + 1 jest większe lub równe od zera

Zadanie dodane przez Jerzyk , 18.02.2013 09:05

Dla jakich wartości parametru k nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x należących do R.
x^{2} - kx +k + 1 jest większe lub równe od zera

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 19.02.2013 17:41

$x^{2} - kx +k + 1 \geq 0$ jest nierównością kwadratową ze względu na $x$ .
Żeby była ona spełniona dla wszystkich $x$ , musimy mieć conajwyżej jedno miejsce zerowe (bo warunek, żeby współczynnik przy $x^2$ był dodatni jest spełniony). Jedno miejsce zerowe jest wtedy, gdy delta równania kwadratowego jest równa zeru. Natomiast dla delty ujemnej będziemy mieli same dodatnie wartości.

Współczynniki nierówności:
$a=1$
$b=-k$
$c=k+1$

Obliczamy deltę:
$\Delta = k^2-4(k+1) = k^2-4k-4$

Delta musi być mniejsza bądź równa zero, zatem:

$k^2-4k-4 \leq 0$

I to jest nasz jedyny warunek do tego zadania. Musimy znaleźć $k$ , które będzie spełniało ten warunek, czyli musimy rozwiązać nierówność kwadratową z niewiadomą $k$ .

Znajdujemy miejsca zerowe nierówności, obliczając deltę tej nowej nierówności:

$\Delta = 4^2-4 * (-4)= 16 * 2$
$\sqrt {\Delta} = 4 \sqrt 2$

$k_1 = \cfrac{4-4 \sqrt 2}{2}=2-2 \sqrt 2$ lub $k_2 = 2+2 \sqrt 2$

Współczynnik przy kwadracie $k$ jest dodatni, więc ramiona paraboli będą skierowane w górę. Zatem $k^2-4k-4 \leq 0$ wtedy, gdy $k \in <2-2 \sqrt 2; 2+2 \sqrt 2>$

Dla takich $k$ nierówność $x^{2} - kx +k + 1 \geq 0$ jest spełniona dla wszystkich $x \in \mathbb {R}$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dla jakich wartości parametru k nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x należących do R. x^{2} - kx +k + 1 jest większe lub równe od zera

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: