Dla jakich wartości parametru m równanie x^2 + 2(m + 4)x + m^2 - 2m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków?

Zadanie dodane przez kejcik , 21.11.2011 21:06

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 22.11.2011 07:50

Aby funkcja kwadratowa posiadała dwa pierwiastki $x_1$ i $x_2$ , to koniecznie $\mathbf{\Delta >0}$ , zatem:

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta =[2(m+4)]^2-4* 1* (m^2-2m)$

$\Delta =(2m+8)^2-4m^2+8m$

$\Delta =4m^2+32m+16-4m^2+8m$

$\Delta =40m+16$

I terraz nasz warunek:

$\Delta >0$ $\Leftrightarrow$ $40m+16>0$

$40m>-16$

$m>-\frac{16}{40}$

$m>-\frac{2}{5}$

$\Downarrow$

$m\in (-\frac{2}{5},+\infty )$

Teraz jeszcze należy się zastanowić co zrobić, aby te pierwiastki były jednakowych znaków?

Powiem tak, skoro mają mieć ten sam znak (dodatni lub ujemny), to ich iloczyn w efekcie i tak musi być liczbą dodatnią, stąd możemy zapisać następujący warunek:

$x_1* x_2 >0$

Korzystając teraz ze wzoru Viete'a otrzymujemy:

$\frac{c}{a}>0$

$\frac{m^2-2m}{2(m+4)}>0$

Aby rozwiązać taką nierówność wymierną, wystarczy rozwiązać następującą nierówność wielomianową:

$2(m+4)(m^2-2m)>0$

$2m(m+4)(m-2)>0$

$m_1=0$

$m_2=-4$

$m_3=2$

Po zaznaczeniu tych wartości na osi liczbowej oraz narysowaniu skróconej siatki znaków (odpowiedni rysunek zamieszczam w załączniku) otrzymujemy następującą odpowiedź:

$m\in (-4,0)\cup (2,+\infty )$

Teraz należy wziąć część wspólną obu otrzymanych warunków i zapisać ostateczną odpowiedź:

$m\in (-\frac{2}{5},0)\cup (2,+\infty )$

- Ratunku 28.03.2019 21:03
  
  8 do potęgi 2 to nie jest 16 powinno być 64,w obliczaniu delty
- Mathematics 06.05.2019 17:30
  
  Czemu we wzorze Viete'a podstawiłeś b zamiast a?
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dla jakich wartości parametru m równanie x^2 + 2(m + 4)x + m^2 - 2m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków?

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: