1. Okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnego i przechodzi przez pkt. A=(-2,-9). Wyznacz równanie tego okregu. 2. Prosta o równaniach y=2x+5 i y=x+3 zawierają średnice okręgu 0, do którego należy pkt P=(3,2). Znajdz równanie tego okręgu 3. Znajdz d. cieciwy okręgu o równaniu (x-3) do kwadratu + (y+5) do kwadratu = 29 która lezy na prostej x=2 Prosze o całe rozwiazanie i z góry dziekuje

Zadanie 5096 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez xxxneelciaaxxx , 17.12.2012 21:51
Default avatar
1. Okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnego i przechodzi przez pkt. A=(-2,-9). Wyznacz równanie tego okregu.

2. Prosta o równaniach y=2x+5 i y=x+3 zawierają średnice okręgu 0, do którego należy pkt P=(3,2). Znajdz równanie tego okręgu

3. Znajdz d. cieciwy okręgu o równaniu (x-3) do kwadratu + (y+5) do kwadratu = 29 która lezy na prostej x=2

Prosze o całe rozwiazanie i z góry dziekuje

Nadesłane rozwiązania ( 3 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 18.12.2012 08:10
Science4u 20110912181541 thumb

1)

Skoro ten okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to znaczy, że środek okręgu leży na prostej y=x, więc mamy:

S=(x,x) oraz r=|x|

Ponadto zachodzi zależność:

|AS|=r
\Downarrow
|AS|^2=r^2

(x+2)^2+(x+9)^2=x^2

x^2+4x+4+x^2+18x+81-x^2=0

x^2+22x+85=0

\Delta =22^2-4* 85=144, \sqrt{\Delta }=12

x_1=\cfrac{-22-12}{2}=-17

x_2=\cfrac{-22+12}{2}=-5

Zatem istnieją dwa takie okręgi:

S_1=(-17,-17) i r_1=17

(x+17)^2+(y+17)^2=289

oraz drugi okrąg:

S_2=(-5,-5) i r_2=5

(x+5)^2+(y+5)^2=25
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez Science4U , 18.12.2012 08:16
Science4u 20110912181541 thumb

2)

Skoro proste te nie są równoległe oraz każda z nich zawiera średnicę okręgu, to znaczy, że punkt przecięcia się tych prostych jest środkiem okręgu, a zatem rozwiążmy układ równań:

\left \{ \begin{array}{l}y=2x+5\\y=x+3\end{array}\right .

Mamy:

2x+5=x+3

x=-2

Teraz wracam do pierwszego równania:

y=2* (-2)+5

y=1

Stąd:

S=(-2,1)

Teraz jeszcze zauważy, że zachodzi związek:

r=|PS|
\Dowanrrow
r^2=|PS|^2

r^2=(-2-3)^2+(1-2)^2

r^2=26

Stąd równanie szukanego okręgu ma postać:

(x+2)^2+(y-1)^2=26
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 3 dodane przez Science4U , 18.12.2012 08:22
Science4u 20110912181541 thumb

3)

Należy podstawić wartość x=2 do równania okręgu:

(2-3)^2+(y+5)^2=29

1+y^2+10y+25-29=0

y^2+10y-3=0

\Delta =100+12=112, \sqrt{\Delta }=4\sqrt{7}

y_1=\cfrac{-10-4\sqrt{7}}{2}=-5-2\sqrt{7}

y_2=\cfrac{-10+4\sqrt{7}}{2}=-5+2\sqrt{7}

Zatem cięciwa ta ma końce w punktach:

A=(2,-5-2\sqrt{7})

B=(2,-5+2\sqrt{7})

Długość tej cięciwy, to długość odcinka AB, więc:

d=|AB|=\sqrt{(2-2)^2+(-5+2\sqrt{7}+5+2\sqrt{7})^2}=\sqrt{(4\sqrt{7})^2}=4\sqrt{7}
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.