Dla jakich m, równanie podane w załączniku ma dokładnie 2 pierwiastki. Po uproszczeniu równanie ma postać: $4x^{2} - 2mx + m - 2 = 0$, dla $x\in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)$ Wiem, że nie istnieje takie m, aby równanie miało dokładnie 2 pierwiastki, ale jak to udowodnić (nie na przykładach)... *dla nadgorliwych: Nie, rozwiązaniem nie jest $m\in R$

Zadanie dodane przez d_mek , 26.10.2012 19:38

Dla jakich m, równanie podane w załączniku ma dokładnie 2 pierwiastki.

Po uproszczeniu równanie ma postać:

$4x^{2} - 2mx + m - 2 = 0$ , dla $x\in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)$

Wiem, że nie istnieje takie m, aby równanie miało dokładnie 2 pierwiastki, ale jak to udowodnić (nie na przykładach)...

*dla nadgorliwych: Nie, rozwiązaniem nie jest $m\in R$

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez perkowska00 , 27.10.2012 22:28

założenie $/Delta$ >0

czyli $/Delta$ = $4^{2}$ -16(m-2)= $4m^{2}$ - 16m + 32

$4m^{2}$ - 16m + 32 > 0
$m^{2}$ - 4m + 8 > 0

czyli $/Delta$ pomocnicza = 16-32 < 0 czyli brak rozwiązań m należy do zbioru pustego

- d_mek 28.10.2012 12:21
  
  Po 1: aby poprawnie zapisać $\Delta$ w Latex-ie wpisujesz: \Delta między dolarami
  Po 2: twoja delta pomocnicza wykazała, że parabola $m^{2} - 4m + 8$ nie przecina osi OM, co za tym idzie jest cała pod, lub nad osią OM, a że a>0 (a=4) wychodzi Ci $m\in R$ (czyli, to co napisałem *dla nadgorliwych)
  
  Teraz proszę Ciebie, usuń swoje (błędne) rozwiązanie, aby ktoś mógł to zadanie dostrzec z panelu "Do rozwiązania".
  
  Dziękuję,
  Pozdrawiam, Michał D. Redakcja MatmaMa6
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez Science4U , 29.10.2012 11:50

Witam,

od kilku dobrych chwil analizuję to zadanie.

Na początek jeszcze raz rozpatrzmy dziedzinę, mamy trzy warunki do spełnienia:

1) $x-\sqrt{x^2-1}\neq 0 \Leftrightarrow 0\neq -1 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$

2) $x+\sqrt{x^2-1}\neq 0 \Leftrightarrow 0\neq -1 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$

3) $x^2-1\geqslant 0 \Rightarrow x\in (-\infty ;-1\rangle \cup \langle 1;+\infty )$

Reasumując: $x\in (-\infty ;-1\rangle \cup \langle 1;+\infty )$

A teraz już samo rozwiązanie zadania:

Równanie rzeczywiście sprowadza się do postaci:

$4x^2-2mx+m-2=0$

Zastanawia mnie dlaczego piszesz, że $m$ takie nie istnieje? Sprawdź sobie chociażby dla $m=2$ , wówczas mamy dwa rozwiązania: 0 i 1.

Zatem znajdźmy wszystkie $m$ , dla których to równanie ma dwa różne pierwiastki (bo jak widać jest czego szukać):

Jedyny warunek jaki musi być spełniony, to:

$\Delta >0$

I wówczas istotnie otrzymujemy nierówność:

$4m^2-16m+32>0$

Ta z kolei jest spełniona dla $m\in \mathbb {R}$ , gdyż jak zauważyłeś $4>0$ oraz $\Delta _m<0$ .

Dlatego skłonna byłabym udzielić odpowiedzi, że właśnie $m\in \mathbb{R}$ .

Oczywiście mogę się mylić, ale na chwilę obecną nie zauważam sprzeczności.

Pozdrawiam,
Science4U

- d_mek 29.10.2012 12:22
  
  Co do dziedziny, oczywiście domknięte przy -1 i 1 (źle przepisałem) .
  A teraz weźmy ten przypadek co zapisałaś: "m=2, wówczas mamy dwa rozwiązania: 0 i 1."
  0 nie należy do dziedziny, więc nie może być rozwiązaniem... pozostaje jeden pierwiastek x=1.
  
  Wczoraj coś naszła mnie myśl co do udowodnienia tego równania.
  Pierwiastki tego równania to:
  $x_{1}= \cfrac{2m-\sqrt{4m^{2}-16m+32}{8}$ i $x_{2}= \cfrac{2m+\sqrt{4m^{2}-16m+32}{8}$
  Z dziedziny wiemy:
  $x_{1} <= -1$ lub $x_{1} >= 1$ i $x_{2} <= -1$ lub $x_{2} >= 1$
  Gdyby teraz udowodnić, dla jakich m tak nie jest:
  $x_{1} >= -1$ i $x_{1} <= 1$ i $x_{2} >= -1$ i $x_{2} <= 1$
  
  Wtedy przez negacje można by chyba udowodnić prawdziwość o braku rozwiązań...
  
  Niestety będę mógł to sprawdzić dopiero w środę... na razie powtarzam sobie materiał do kolokwium na wtorek.
  
  Pozdrawiam, Michał D. Redakcja MatmaNa6
- d_mek 29.10.2012 12:26
  
  Coś musiałem źle wpisać przy pierwiastkach:
  $x_{1}= \cfrac{2m-\sqrt{4m^{2}-16m+32}}{8}$ i $x_{2}= \cfrac{2m+\sqrt{4m^{2}-16m+32}}{8}$
- Science4U 30.10.2012 22:38
  
  Tak jest - masz rację, zapomniałam uwzględnić dziedzinę. :) A więc już się poprawiam:
  
  Pierwiastki tego równania to:
  
  $x_1=\cfrac{m-\sqrt{m^2-4m+8}}{4}$ oraz $x_2=\cfrac{m+\sqrt{m^2-4m+8}}{4}$
  
  A teraz uwzględnijmy, że powinny one należeć do dziedziny. Otrzymujemy następujące zależności:
  
  $x_1\leqslant -1$ lub $x_1\geqslant 1$
  oraz
  $x_2\leqslant -1$ lub $x_2\geqslant 1$
  
  Ja bym to udowodniła wprost, po prostu rozwiążmy te nierówności, a więc:
  
  $m-\sqrt{m^2-4m+8}\leqslant -4$
  $\sqrt{m^2-4m+8}\geqslant m+4$
  
  Podniosę obie strony nierówności do kwadratu:
  
  $m^2-4m+8\geqslant m^2+8m+16$
  $\Downarrow$
  $m\leqslant -\cfrac{2}{3}$
  
  lub
  
  $m-\sqrt{m^2-4m+8}\geqslant 4$
  $\sqrt{m^2-4m+8}\leqslant m-4$
  
  Aby ta nierówność miała sens musi być spełnione $m\geqslant 4$
  
  Podnosząc teraz obie strony nierówności do potęgi drugiej otrzymamy:
  
  $m^2-4m+8\leqslant m^2-8m+16$
  $\Downarrow$
  $m\leqslant 2$
  więc $m\in \emptyset$
  
  Stąd podsumowując pierwszą część rozważań mamy:
  $m\leqslant -\cfrac{2}{3}$
  
  Teraz uwzględnienie drugiego pierwiastka:
  
  Postępujemy analogicznie i otrzymujemy ostatecznie $m\geqslant 2$
  
  Teraz należy wziąć część wspólną obu zależności, a ta jest zbiorem pustym, więc rzeczywiście nie istnieje takie $m$ .
Dodaj komentarz