Przebieg zmiennej funkcji $f(x) \frac{x}{x^{2}-4}$

Zadanie 4845 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Pola90 , 05.12.2012 16:10
Pola90 20121107092546 thumb
Przebieg zmiennej funkcji

f(x) \frac{x}{x^{2}-4}

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 08.12.2012 14:50
Annas 20120518205519 thumb
Rozwiązywanie w toku...
1. Dziedzina:

Mianownik musi być różny od 0 i będzie taki dla każdego x\neq -2 \wedge x\neq 2 czyli x\in\mathbb{R}\setminus \{ -2, 2 \}.

Zbadajmy co się dzieje na końcach dziedziny - zrobimy to obliczając odpowiednie granice.



\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{x}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}= 0^-

\lim_{x\rightarrow \infty} \cfrac{x}{x^2-4}= 0^+



Z granic tych wynika, że funkcja może mieć asymptotę poziomą.


\lim_{x\rightarrow -2^-} \cfrac{x}{x^2-4}=- \infty

\lim_{x\rightarrow -2^+} \cfrac{x}{x^2-4}= \infty

\lim_{x\rightarrow 2^-} \cfrac{x}{x^2-4}= -\infty

\lim_{x\rightarrow 2^+} \cfrac{x}{x^2-4}= \infty


Z tych granic widać, że funkcja ma asymptoty pionowe dla x=-2 i x=2.


Asymptoty:

O asymptotach pionowych już mówiliśmy. Poszukajmy teraz asymptoty ukośnej:



m=\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{1}{x^2-4}= 0



To samo wyjdzie dla x\rightarrow \infty, więc możemy się spodziewać, że asymptota będzie obustronna, pozioma (bo współczynnik kierunkowy równy 0).



\lim_{x\rightarrow \infty} [f(x)-mx]= \lim_{x\rightarrow \infty} \left [ \cfrac{x}{x^2-4} - 0\right] = \lim_{x\rightarrow -\infty} \left [ \cfrac{x}{x^2-4} - 0\right] = 0



Rzeczywiście funkcja ta będzie mieć asymptotę poziomą obustronną o równaniu y=0.



2. Pierwsza pochodna:



\cfrac{d}{dx} \left ( \cfrac{x}{x^2-4} \right )= \cfrac{x^2-4-2x* x}{\left( x^2-4\right )^2} = - \cfrac{x^2+4}{\left( x^2-4\right )^2}


Pierwsza pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, zatem funkcja maleje - przedziałami, bo musimy pamiętać, że jest nieciągła!


3. Druga pochodna:



\cfrac{d^2}{dx^2} \cfrac{x}{x^2-4}= \cfrac{d}{dx} \left [- \cfrac{x^2+4}{\left( x^2-4\right )^2} \right ] = -\cfrac{2x\left (x^2-4\right ) ^2 -\left(x^2+4\right) * 2\left( x^2-4\right ) * 2x}{\left (x^2-4\right )^4}=

=\cfrac{2x(x^2+12)}{\left (x^2-4\right )^3}



\cfrac{d^2}{dx^2} f(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x=0



W x=0 funkcja ma punkt przegięcia. Zbadajmy wypukłość wykresu funkcji, sprawdzając przedziały, gdzie druga pochodna jest większa od zera i gdzie jest mniejsza. Mianownik drugiej pochodnej jest większy od zera dla każdego x, będziemy więc badać dalej tylko licznik:



\cfrac{d^2}{dx^2} f(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x <0


x\in \left(-\infty; 0\right) \ \Rightarrow funkcja jest wklęsła



\cfrac{d^2}{dx^2} f(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ x >0


x\in \left( 0; \infty \right)  \ \Rightarrow funkcja jest wypukła



Te wszystkie informacje o funkcji można podsumować w tabeli oraz narysować jej wykres.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.