Przebieg zmiennej funkcji $f(x) \frac{x}{x^{2}-4}$

Zadanie dodane przez Pola90 , 05.12.2012 16:10

Przebieg zmiennej funkcji

$f(x) \frac{x}{x^{2}-4}$

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez AnnaS , 08.12.2012 14:50

Rozwiązywanie w toku...
1. Dziedzina:

Mianownik musi być różny od $0$ i będzie taki dla każdego $x\neq -2 \wedge x\neq 2$ czyli $x\in\mathbb{R}\setminus \{ -2, 2 \}$ .

Zbadajmy co się dzieje na końcach dziedziny - zrobimy to obliczając odpowiednie granice.

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{x}{x^2-4}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}}= 0^-$

$\lim_{x\rightarrow \infty} \cfrac{x}{x^2-4}= 0^+$

Z granic tych wynika, że funkcja może mieć asymptotę poziomą.

$\lim_{x\rightarrow -2^-} \cfrac{x}{x^2-4}=- \infty$

$\lim_{x\rightarrow -2^+} \cfrac{x}{x^2-4}= \infty$

$\lim_{x\rightarrow 2^-} \cfrac{x}{x^2-4}= -\infty$

$\lim_{x\rightarrow 2^+} \cfrac{x}{x^2-4}= \infty$

Z tych granic widać, że funkcja ma asymptoty pionowe dla x=-2 i x=2.

Asymptoty:

O asymptotach pionowych już mówiliśmy. Poszukajmy teraz asymptoty ukośnej:

$m=\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \cfrac{1}{x^2-4}= 0$

To samo wyjdzie dla $x\rightarrow \infty$ , więc możemy się spodziewać, że asymptota będzie obustronna, pozioma (bo współczynnik kierunkowy równy $0$ ).

$\lim_{x\rightarrow \infty} [f(x)-mx]= \lim_{x\rightarrow \infty} \left [ \cfrac{x}{x^2-4} - 0\right] = \lim_{x\rightarrow -\infty} \left [ \cfrac{x}{x^2-4} - 0\right] = 0$

Rzeczywiście funkcja ta będzie mieć asymptotę poziomą obustronną o równaniu $y=0$ .

2. Pierwsza pochodna:

$\cfrac{d}{dx} \left ( \cfrac{x}{x^2-4} \right )= \cfrac{x^2-4-2x* x}{\left( x^2-4\right )^2} = - \cfrac{x^2+4}{\left( x^2-4\right )^2}$

Pierwsza pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, zatem funkcja maleje - przedziałami, bo musimy pamiętać, że jest nieciągła!

3. Druga pochodna:

$\cfrac{d^2}{dx^2} \cfrac{x}{x^2-4}= \cfrac{d}{dx} \left [- \cfrac{x^2+4}{\left( x^2-4\right )^2} \right ] = -\cfrac{2x\left (x^2-4\right ) ^2 -\left(x^2+4\right) * 2\left( x^2-4\right ) * 2x}{\left (x^2-4\right )^4}=$

$=\cfrac{2x(x^2+12)}{\left (x^2-4\right )^3}$

$\cfrac{d^2}{dx^2} f(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x=0$

W $x=0$ funkcja ma punkt przegięcia. Zbadajmy wypukłość wykresu funkcji, sprawdzając przedziały, gdzie druga pochodna jest większa od zera i gdzie jest mniejsza. Mianownik drugiej pochodnej jest większy od zera dla każdego $x$ , będziemy więc badać dalej tylko licznik:

$\cfrac{d^2}{dx^2} f(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x <0$

$x\in \left(-\infty; 0\right) \ \Rightarrow$ funkcja jest wklęsła

$\cfrac{d^2}{dx^2} f(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ x >0$

$x\in \left( 0; \infty \right) \ \Rightarrow$ funkcja jest wypukła

Te wszystkie informacje o funkcji można podsumować w tabeli oraz narysować jej wykres.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Przebieg zmiennej funkcji $f(x) \frac{x}{x^{2}-4}$

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: