Należy wykazać, że podana granica jest prawdziwa: $lim_{x\to 0} \cfrac{sinx-x}{x^{2}} = 0$ Haczyk jest w tym, że nie można korzystać z pochodnych. Wiem, że należy wykorzystać tutaj twierdzenie o trzech funkcjach, tylko nie mogę zauważyć jakie wartości podrzucić w funkcjach ograniczających. P.S. sinx=+/- 1 daje granice $-\infty \ i \ \infty$, więc trzeba coś innego znaleźć...

Zadanie dodane przez d_mek , 15.12.2012 16:34

Należy wykazać, że podana granica jest prawdziwa:
$lim_{x\to 0} \cfrac{sinx-x}{x^{2}} = 0$

Haczyk jest w tym, że nie można korzystać z pochodnych.

Wiem, że należy wykorzystać tutaj twierdzenie o trzech funkcjach, tylko nie mogę zauważyć jakie wartości podrzucić w funkcjach ograniczających.

P.S. sinx=+/- 1 daje granice $-\infty \ i \ \infty$ , więc trzeba coś innego znaleźć...

Nadesłane rozwiązania ( 3 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Chihiro , 16.12.2012 10:54

Korzystamy z twierdzenia o trzech funkcjach. Górną granicą sinx jest 1 , a dolną -1 , bo są to: największa i najmniejsza wartość, jaką przyjmuje funkcja. Oszacujmy zatem:
-1-x / x^2 <= (sinx-x)/x^2 <= 1-x / x^2
Obliczmy granice:
lim(x->0) (-1/x^2 - 1/x)/1 = 0
lim(x->0) (1/x^2 - 1/x)/1 = 0

Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach podana granica jest prawdziwa.

- d_mek 16.12.2012 12:32
  
  @Chihiro w liczniku wychodzi symbol nieoznaczony [ $\infty-\infty$ ] (nie wiem skąd wyszły Ci zera) , a zamieniając inaczej, wychodzą granice jakie napisałem w Postscriptum
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez Science4U , 17.12.2012 09:49

Hmmm....Ciężka sprawa. Na pewno trzeba by policzyć osobno granice: prawostronną i lewostronną.

Przy szacowaniu granicy prawostronnej wykorzystałabym fakt, że:

$x\in \langle 0,1\rangle \sin x\leqslant x$

I już mamy ograniczenie górne, tylko dolnego ograniczenia nie umiem w tej chwili zauważyć.

No a przy szacowaniu granicy lewostronnej zdecydowanie korzystamy z faktu, że:

$x\in \langle -1,0\rangle \sin \geqslant x$

I mamy dolne oszacowanie, tylko znów górnego trzeba dobrze poszukać.

Jak mi coś jeszcze przyjdzie do głowy, to dam znać.

Pozdrawiam.

- d_mek 17.12.2012 13:38
  
  Znajomy mówił, że chyba można skorzystać z zależności sinx=x przy bardzo małych x (dążących do zera)
- Science4U 18.12.2012 07:55
  
  Można, a nawet trzeba. ;) Warto pamiętać, że zachodzi nawet taka własność:
  
  $\lim\limits _{x\to 0}\cfrac{\sin x}{x}=1$
  
  Często przy pewnych typach granic wykorzystuje się właśnie tą granicę. Tak na przyszłość - zachodzi również:
  
  $\lim\limits _{x\to 0}\cfrac{\textrm{tg} x}{x}=1$
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 3 dodane przez Science4U , 18.12.2012 07:41

Wpadł mi teraz do głowy taki pomysł:

Wszystko się dzieje "w okolicy zera", więc w szczególności dla przedziałów $(0,1)$ oraz $(-1,0)$ .

Na początek skupmy się na przedziale $(0,1)$ , wtedy zachodzi:

$\sin x\leqslant x$

oraz:

$x^2\leqslant 1\Rightarrow \cfrac{1}{x^2}\geqslant 1$

Wtedy możemy zrobić następujące oszacowanie:

$\sin x -x \leqslant \cfrac{\sin x-x}{x^2}\leqslant \cfrac{x-x}{x^2}=0$

Zatem policzmy granicę prawostronną:

$\lim\limits _{x\to 0^+}(\sin x -x )\leqslant \lim\limits _{x\to 0^+}\cfrac{\sin x-x}{x^2}\leqslant \lim\limits _{x\to 0^+}0$

$0\leqslant \lim\limits _{x\to 0^+}\cfrac{\sin x-x}{x^2}\leqslant 0$

Stąd:

$\lim\limits _{x\to 0^+}\cfrac{\sin x-x}{x^2}=0$

Teraz skupmy się na przedziale $(-1,0)$ , wówczas:

$\sin x\geqslant x$

oraz:

$x^2\leqslant 1\Rightarrow \cfrac{1}{x^2}\geqslant 1\Rightarrow -\cfrac{1}{x^2}\leqslant -1$

Wtedy zachodzi następujące szacowanie:

$0=\cfrac{x-x}{x^2}\leqslant \cfrac{\sin x-x}{x^2}=-\cfrac{1}{x^2}(x-\sin x)\leqslant -(x-\sin x)$

Zatem możemy obliczyć teraz granicę lewostronną w zerze i otrzymamy:

$\lim\limits _{x\to 0^-}\cfrac{\sin x-x}{x^2}=0$

A na koniec wniosek:

Skoro granice: prawostronna i lewostronna w zerze istnieją, są skończone oraz równe, to istnieje także granica:

$\lim\limits _{x\to 0}\cfrac{\sin x-x}{x^2}=0$

- d_mek 18.12.2012 17:05
  
  Proste, a jednocześnie genialne. Nie wpadłem właśnie na ten pomysł z $\frac{1}{x^2}$ .
  Nie wiem jak Ci dziękować :)
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 3 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: