Wyznacz boki prostokąta o polu S tak, by jego obwód był najmniejszy.

Zadanie 5624 (rozwiązane)

Zadanie dodane przez Menia , 06.02.2013 16:27

Wyznacz boki prostokąta o polu S tak, by jego obwód był najmniejszy.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 06.02.2013 18:34

Boki prostokąta oznaczę prze $a$ i $b$ .

$a* b=S$
$\Downarrow$
$b=\cfrac{S}{a}$

Obwód:

$2a+2b=2a+\cfrac{2S}{a}=\cfrac{2a^2+2S}{a}$

Należy znaleźć minimum funkcji:

$f(a)=\cfrac{2a^2+2S}{a}$

$f'(a)=\cfrac{4a* a-(2a^2+2S)* 1}{a^2}=\cfrac{4a^2-2a^2-2S}{a^2}=\cfrac{2a^2-2S}{a^2}$

$f'(a)=0\Leftrightarrow a=\sqrt{S}$

Ponadto:

dla $a>\sqrt{S}$ $f'(a)>0$

dla $a<\sqrt{S}$ $f'(a)<0$

Zatem funkcja $f$ ma w $a=\sqrt{S}$ minimum lokalne, stąd obwód prostokąta będzie najmniejszy, gdy będzie on kwadratem o boku $\sqrt{S}$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.