dwie proste k: y-2x-1=0 i l: y-x-3=0 przecinaja się w punkcie A. Poprowadzono prostą m przechodzaca przez punkt C=(4,1) prostopadłą do k i przecinajaca l w punkcie B. Oblicz pole trójkąta ABC.

Na początek poszukam przecięcia się prostych i , czyli współrzędnych punktu . W tym celu wystarczy rozwiązać układ równań:



Pomnożę pierwsze równanie przez :



Dodam stronami obie równości:





Podstawiam otrzymaną wartość do równania drugiego:





Zatem współrzędne punktu to:
A=(2,5)

Teraz wyznaczę równanie prostej . Przypuśćmy, że jest ona opisana wzorem w postaci kierunkowej:
y=ax+b
Skoro prosta jest prostopadła do prostej , to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy .

Znajdźmy zatem współczynnik kierunkowy prostej :




Zatem współczynnik kierunkowy prostej jest równy . Nawiązując do poprzedniej myśli mogę już zatem wyznaczyć współczynnik kierunkowy szukanej prostej :





Teraz pozostało już tylko znaleźć współczynnik , ale wiemy, że prosta przechodzi przez punkt , więc:









Podsumowując, równanie prostej , to:
y=-\frac{1}{2}x+3

Teraz należy wyznaczyć współrzędne punktu , jako przecięcie się prostych i , zatem:



Podstawię zależność z pierwszego równania do drugiego:



Pomnożę obie strony równości przez :






Otrzymaną wartość podstawię do równania drugiego:





Zatem współrzędne punktu to:
B=(0,3)

Teraz już możemy obliczyć pole trójkąta .

Jako podstawę proponuję przyjąć odcinek :
a=|AB|=\sqrt{(0-2)^2+(3-5)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
Z kolei wysokością będzie odległość punktu od prostej zawierającej podstawę , czyli od prostej :
h=\frac{|-4+1-3|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}=\frac{|-6|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}
Zatem szukane pole wynosi:
P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{2}=6

W załączniku przedstawiam odpowiedni rysunek.