Okno ma kształt prostokąta z dołączonymi na dole i górze półkolami podaj wzór na pole P powierzchni okna z zależności od r i y. uzasadnij że jeśli obwód okna jest równy 6m to pole P wyraża się wzorem P= 6r-pi r kwadrat [mkwadratowych] dla jakiego r pole powierzchni okna ,którego obwód jest równy 6 m jest największe?

Zadanie dodane przez nieuk , 22.04.2012 16:28

Okno ma kształt prostokąta z dołączonymi na dole i górze półkolami
podaj wzór na pole P powierzchni okna z zależności od r i y.
uzasadnij że jeśli obwód okna jest równy 6m to pole P wyraża się wzorem P= 6r-pi r kwadrat [mkwadratowych]
dla jakiego r pole powierzchni okna ,którego obwód jest równy 6 m jest największe?

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 23.04.2012 20:23

Prostokąt ten będzie miał wymiary $2r\times y$ (szerokość okna to średnica okręgu, a wysokość to $y$ ). Zatem pole powierzchni okna wraz z półkolami wyraża się wzorem:

$P=2r* y +\frac{1}{2}\pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2=2ry+\pi r^2$

Teraz wykorzystam zależność, że obwód okna jest równy sześć metrów:

$2\pi r+2y=6$
$\pi r+y=3$
$\Downarrow$
$y=3-\pi r$

Podstawiając do wzoru na pole otrzymujemy:

$P=2r * (3-\pi r)+\pi r^2$
$P=6r-2\pi r^2+\pi r^2$
$P=6r-\pi r^2=-\pi r^2+6r$

Powyższą zależność można potraktować jako funkcję kwadratową. Jej największa wartość znajduje się w wierzchołku, gdyż jest to parabola z ramionami skierowanymi "w dół", a zatem:

$r_{max}=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2* (-\pi )}=\frac{3}{\pi }$

Zatem dla promienia równego $\frac{3}{\pi }$ pole okna będzie największe (przy założeniu, że jego obwód jest równy 6 m).

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: