Określ wzajemnie położenie: A. okręgu (x+1)+(y-3)^2=2 i prostej y=3x-1 B.Dwóch okręgów x^2-y^2-4x+6y-1=0 i (x+2)^2 +(y-3)^2=1

Zadanie 4444 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez pysia18 , 15.11.2012 20:12
Pysia18 20121115150956 thumb
Określ wzajemnie położenie:
A. okręgu (x+1)+(y-3)^2=2 i prostej y=3x-1
B.Dwóch okręgów
x^2-y^2-4x+6y-1=0 i (x+2)^2 +(y-3)^2=1

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 16.11.2012 10:14
Science4u 20110912181541 thumb

A.

Środek okręgu ma współrzędne S=(-1,3), a jego promień jest równy \sqrt{2}.

Należy zbadać odległość środka okręgu d od prostej, więc:

y=3x-1

-3x+y+1=0

d=\cfrac{|-3* (-1)+1* 3+1|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}=\cfrac{|7|}{\sqrt{10}}=\cfrac{7\sqrt{10}}{10}

Porównajmy odległość środka okręgu od prostej z promieniem:

\cfrac{7\sqrt{10}}{10}>\sqrt{2}
\Downarrow
d>r

Skoro odległość środka okręgu od prostej jest większa niż promień okręgu, to znaczy, że prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych - są rozłączne.


B.

Pierwszy okrąg:

x^2-y^2-4x+6y-1=0

Podejrzewam, że jest błąd i przed elementem y^2 jest plus, gdyż w przeciwnym razie to nie będzie okrąg, lecz krzywa drugiego stopnia (z tego co widzę, to akurat hiperbola).

Stąd rozwiążę dla równania postaci:

x^2+y^2-4x+6y-1=0

(x-2)^2+(y+3)^2=14
\Downarrow
S_1=(2,-3) oraz r_1=\sqrt{14}

Drugi okrąg:

 (x+2)^2 +(y-3)^2=1
\Downarrow
S_2=(-2,3) oraz r_2=1

Teraz zbadam odległość pomiędzy środkami okręgów:

|S_1S_2|=\sqrt{(-2-2)^2+(3+3)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

Zauważmy, że:

2\sqrt{13}>\sqrt{14}+1

Stąd:

|S_1S_2|>r_1+r_2

Skoro odległość między środkami okręgów jest większa niż suma ich promieni, to znaczy, że okręgi te nie mają ze sobą punktów wspólnych - są rozłączne zewnętrznie.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.