oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jeżeli długość krawędzi podstawy wynosi 3cm a długość krawędzi bocznej 12cm

Zadanie 1222 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Kapronit , 19.12.2011 14:58
Default avatar
oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego
sześciokątnego jeżeli długość krawędzi podstawy wynosi 3cm a długość krawędzi bocznej 12cm

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 20.12.2011 09:26
Science4u 20110912181541 thumb

1) OBJĘTOŚĆ V:

V=\frac{1}{3}* P_p* H

P_p=6* P_T \longleftarrow sześciokąt foremny składa się z 6 identycznych trójkątów równobocznych o polu P_T

P_T=\frac{1}{2}* a* h=\frac{1}{2}* a* a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}

Zatem pole podstawy ostrosłupa jest równe:

P_p=6* \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}

Potrzebujemy jeszcze wysokość ostrosłupa. Najprościej będzie rozpatrzeć trójkąt prostokątny zawierający:

- krawędź boczną L (to przeciwprostokątna w tym trójkącie)
- wysokość ostrosłupa H
- połowa przekątnej sześciokąta a (akurat jest równa krawędzi podstawy)

i skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, a więc:

H^2+a^a=L^2
H^2=144-9
H^2=135
H=\sqrt{135}=3\sqrt{15}

Zatem objętość jest równa:

V=\frac{1}{3}* \frac{27\sqrt{3}}{2}* 3\sqrt{15}=\frac{27\sqrt{45}}{2}=\frac{81\sqrt{5}}{2}

2) POLE POWIERZCHNI CAŁKOWITEJ P_c:

P_c=P_p+P_b

P_b=6* P_s \longleftarrow pole powierzchni bocznej składa się z 6 identycznych ścian bocznych, które są trójkątami równoramiennymi o podstawie a i wysokości h

Aby wyznaczyć wysokość ściany bocznej h rozpatrzmy trójkąt prostokątny zawierający:

- wysokość ściany bocznej h (to przeciwprostokątna w tym trójkącie)
- wysokość ostrosłupa H
- wysokość jednego z trójkątów równobocznych, tworzących sześciokąt foremny \frac{a\sqrt{3}}{2}

i skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, a więc:

h^2=H^2+\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2}\right )^2

h^2=(3\sqrt{15})^2+\left ( \frac{3\sqrt{3}}{2}\right )^2

h^2=135+ \frac{27}{4}

h^2=\frac{540}{4}+ \frac{27}{4}

h^2=\frac{567}{4}

h=\sqrt{\frac{81* 7}{4}}=\frac{9\sqrt{7}}{2}


Stąd pole ściany bocznej jest równe:

P_s=\frac{1}{2}* 3* \frac{9\sqrt{7}}{2}=\frac{27\sqrt{7}}{4}

Zatem pole powierzchni bocznej jest równe:

P_b=6* \frac{27\sqrt{7}}{4}=\frac{81\sqrt{7}}{2}

Stąd pole powierzchni całkowitej wynosi:

P_c=\frac{27\sqrt{3}}{2}+\frac{81\sqrt{7}}{2}
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.