w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 12dm a wysokość ostrosłupa jest równa 18dm oblicz miarę kąta jaki tworzy w krawędź boczna a)z podstawą b)z krawędzią podstawy ostrosłupa

Zadanie dodane przez Kapronit , 19.12.2011 15:03

w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 12dm a wysokość ostrosłupa jest równa 18dm oblicz miarę kąta jaki tworzy w krawędź boczna

a)z podstawą

b)z krawędzią podstawy ostrosłupa

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 20.12.2011 08:24

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat.

a) aby obliczyć miarę kąta $\alpha$ , jaki tworzy krawędź boczna z podstawą wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny zawierający:

- wysokość ostrosłupa $H$
- krawędź boczną $L$ (jest ona przeciwprostokątną w tym trójkącie)
- połowę przekątnej podstawy $\frac{d}{2}$ (kwadratu)

Z własności funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych mamy:

tg $\alpha =\frac{H}{\frac{d}{2}}=\frac{2H}{d}=\frac{36}{12\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,1213$

Porównując teraz otrzymany wynik z tablicą wartości tangensów odczytujemy, że:
$\alpha \approx 65^{\circ }$ .

b) postępujemy analogicznie jak powyżej, tym razem rozpatrujemy trójkąt prostokątny zawierający:

- połowę długości krawędzi podstawy $\frac{a}{2}$
- krawędź boczną $L$ (jest ona przeciwprostokątną w tym trójkącie)
- wysokość ściany bocznej $h$

$\beta$ - kąt jaki tworzy krawędź boczna z krawędzią podstawy

$\cos \beta =\frac{\frac{a}{2}}{L}=\frac{a}{2L}$

z twierdzenia Pitagorasa:

$H^2+\left ( \frac{d}{2}\right ) ^2=L^2$

$324+\left ( \frac{12\sqrt{2}}{2}\right ) ^2=L^2$

$324+72=L^2$
$L^2=396$
$\Downarrow$
$L=\sqrt{396}=\sqrt{36* 11}=6\sqrt{11}$

Zatem:

$\cos \beta =\frac{a}{2L}=\frac{12}{12\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}}{11}\approx 0,3015 \Rightarrow \beta \approx 71^{\circ }$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 12dm a wysokość ostrosłupa jest równa 18dm oblicz miarę kąta jaki tworzy w krawędź boczna a)z podstawą b)z krawędzią podstawy ostrosłupa

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: