trójkąt równoramienny o P= 4$\sqrt{3}$ cm i kącie między ramionami o mierze $120^{\circ}$ obraca się dookoła najdłuższego boku. oblicz objętość powstałej bryły.

Zadanie dodane przez aniaaa152 , 20.01.2012 15:55

trójkąt równoramienny o P= 4 $\sqrt{3}$ cm i kącie między ramionami o mierze $120^{\circ}$ obraca się dookoła najdłuższego boku. oblicz objętość powstałej bryły.

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez nieebieeski , 23.01.2012 10:29

Ważne jest, aby narysować sobie wszystko. Rysujemy trojkat $ABC$ gdzie $AB$ to podstawa trójkąta, a $C$ to wierzchołek przy ktorym mamy kąt $120^{\circ}$ . Prowadzimy z tego wierzchołka wysokość $h$ , która dzieli nam trojkąt $ABC$ na dwa trójkaty. Wysokość ta, jest jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku $C$ , więc powstałe trójkąty są trójkatami charakterystycznymi $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ , $90^{\circ}$ . Wzór na pole trójkata to $P=\frac{1}{2}a* h$ . Zauważ, że wysokość leży naprzeciw kata $30^{\circ}$ , więc ma długość $x$ , a $\frac{1}{2}a$ to odcinek leżący naprzeciwko kąta $60^{\circ}$ , więc ma długość $x\sqrt{3}$ . Zatem $\frac{1}{2}a=h\sqrt{3}$ .
Podstawiamy to do wzoru na pole i mamy $h\sqrt{3}* h=4\sqrt{3} \rightarrow h=2 \wedge a=4\sqrt{3}$
Teraz obracamy trójkąt wokół podstawy trójkąta i powstają nam 2 stożki, których wierzchołkiem są punkty $B, C$ podstawy trojkąta, promieniem podstawy jest wysokość trójkata, a połowa długości podstawy jest wysokością stożka. Zatem możemy już policzyć objętość bryły:
$V=\frac{1}{3}P_{p}* H=\frac{1}{3}* \pi r^{2}* H=\frac{1}{3}* 4\pi * 2\sqrt{3}=\frac{8}{3}\pi$ $[cm^{2}]$ .