Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkatnego rowna się 144 $\sqrt{3}$ , a pole jego powierzchni bocznej 96 $\sqrt{3}$ . oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie dodane przez urszula_skotny , 25.01.2012 20:17

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez asica , 26.01.2012 11:15

$V=\frac{1}{3}P_{p}*H$

$P_{p}=P_{c}-P_{b}=144\sqrt{3}-96\sqrt{3}=48\sqrt{3}$

teraz trzeba tylko wyliczyć wysokość ostrosłupa, co już będzie bardziej skomplikowane

zacznijmy od policzenia długości krawędzi podstawy:
podstawa jest trójkątem równobocznym, którego pole liczymy ze wzoru $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , gdzie $a$ to szukana krawędź

więc $48\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
mnożymy obustronnie przez 4 i dzielimy przez $\sqrt{3}$
$192=a^2$
$a=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$

teraz policzmy wysokość ściany bocznej
każda z nich jest jednakowym trójkątem równoramiennym, więc pole jednej, to $\frac{96\sqrt{3}}{3}=32\sqrt{3}$
$P=\frac{a*h}{2}$
$a$ już znamy, bo to krawędź podstawy ostrosłupa, więc
$32\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}*h}{2}$
$64\sqrt{3}=8\sqrt{3}*h$
$h=8$

do tej części obliczeń dołączony jest załącznik, żeby było wyraźnie widać, co właściwie liczymy
potrzebny nam jest odcinek od środka podstawy do środka jej krawędzi, czyli część jednej z wysokości trójkąta
jako, że jest to trójkąt równoboczny, to punkt przecięcie jego wysokości dzieli je w stosunku 2:1, zatem szukany x jest $\frac{1}{3}$ wysokości trójkąta, która wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$h_{1}=\frac{8\sqrt{3}*\sqrt{3}}{2}=12$
$\frac{1}{3}$ wysokości, czyli $x$ wynosi zatem 4

teraz możemy z twierdzenia Pitagorasa obliczyć wysokość ostrosłupa:
$H^2+x^2=h^2$
$H^2=h^2-x^2$
$H^2=64-16$
$H^2=48$
$H=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

i teraz mamy już wszystkie dane do policzenia objętości ostrosłupa:
$V=\frac{1}{3}48\sqrt{3}*4\sqrt{3}=\frac{1}{3}*192*3=192$

- urszula_skotny 26.01.2012 12:00
  
  skad jest ten $\sqrt{13}$ ??
- asica 26.01.2012 22:03
  
  miało być $\frac{1}{3}$ , pomyliłam formułki, już poprawione ;)
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez nieebieeski , 26.01.2012 11:24

$P_c=P_p+P_b$
Skoro mamy pole całkowite i pole boczne podstawmy je pod ten wzór.
$144\sqrt{3}=P_p+96\sqrt{3}$
$48\sqrt{3}=P_p$
Podstawą w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym jest trójkąt równoboczny, zatem wzór na pole trójkąta równobocznego wygląda tak:
$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$48\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$a=8\sqrt{3}$
Mamy a, które przyda nam się do obliczenia objętości ostrosłupa. Zanim jednak to zrobimy musimy znależć wysokość ostrosłupa, która jest potrzebna do wzoru.
Aby ja znależć skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
Najpierw obliczymy wysokosc trojkata w podstawie:
$h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}=12$
Teraz obliczymy wysokość ściany bocznej, ze wzoru na pole powierzchi bocznej:
$P_b=3* \frac{1}{2}ah_b=96\sqrt{3}$
$a=8\sqrt{3}$ podstawiam pod wzór i otrzymuję:
$h_b=8$
Mamy wysokość podstawy i wysokość sciany bocznej. Odległość wysokości sciany bocznej od wysokości bryły stanowi $\frac{1}{3}$ wysokości podstawy zatem szukany odcinek ma:
$\frac{1}{3}12=4$ .
Mamy zatem wszystkie dane potrzebne do zastosowania tw. Pitagorasa, zatem:
$(\frac{1}{3}h_p)^2+H^2=h_b^2$
$H=4\sqrt5$

$V=\frac{1}{3}* 38\sqrt3* 4\sqrt5$

$V=64\sqrt{15} [j^3]$

- urszula_skotny 26.01.2012 11:47
  
  objetośc ma byc równa 192
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkatnego rowna się 144 $\sqrt{3}$ , a pole jego powierzchni bocznej 96 $\sqrt{3}$ . oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: