Oblicz pole i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego , którego wysokość ma 10 cm , a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni

H =10 cm
α = 60°

Pole = 3* pole trójkąta bocznego + pole podstawy
V = 1/3 (p. podstawy * wysokość)


Z danych możemy policzyć odległość x – od krawędzi ostrosłupa do środka podstawy.
tg α= H/x
tg 60°= √3
H/x= √3 → x= H/√3= 10/√3≈5,78


Ponieważ ostrosłup jest trójkątny prawidłowy, to jego podstawą jest trójkąt równoboczny, a wtedy odległość od wierzchołka do środka wyniesie 2h/3.
2/3 h1=x → h1= 3/2 x=8,67

Jeżeli mamy już to, to liczymy pole podstawy. Długość podstawy a liczymy znając h1 ze wzoru:
h_1=(a√3)/2 → a=(2h_1)/√3≈10,01cm
Ppodst= (a h_1)/2= (10,01 ∙8,67)/2=43,39 〖cm〗^2


Te dane pozwalają już na obliczenie objętości:
V=1/3 Ppodst ∙H= 1/3∙10 ∙ 43,39=144,63 〖cm〗^3

Żeby policzyć pole całkowite należy policzyć h2 czyli wysokość trójkątów tworzących boki ostrosłupu. Ponieważ mamy wysokość H i wiemy ile wynosi odległość od środka podstawy do środka boku (h – x) to h2 można policzyć z twierdzenia Pitagorasa:
〖h_2〗^2=H^2+〖(h_1-x)〗^2
h_(2 )= √(100+8,35)=√108,35≈10,41cm

Pola trójkątów tworzących pole boczne jest takie samo. Wynika to z właściwości ostrosłupa prawidłowego.
P_b=3∙(a∙h_2)/2=3∙(10,01 ∙10,41)/2=3∙52,10=156,31 〖cm〗^2

A więc pole całkowite:
Pc=Pb+Ppodst=156,31+43,39=199,7 〖cm〗^2