Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość bryły jest równa 27, a suma długości krawędzi jest równa 13. Znajdź długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu.

Zadanie dodane przez Martin , 17.03.2012 14:07

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 18.03.2012 16:50

$a_1, a_2, a_3\leftarrow$ ciąg geometryczny, więc:

$a_2=a_1q$
$a_3=a_1q^2$

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1* a_2* a_3=27\\ a_1+a_2+a_3=13 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1* a_1 q* a_1q^2=27\\ a_1+a_1q+a_1q^2=13 \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1^3q^3=27\\ a_1(1+q+q^2)=13 \end{array}\right . $

Pierwsze równanie "obłożę" pierwiastkiem 3 stopnia, a drugie równanie pomnożę obustronnie przez $q$ :

$ \left \{ \begin{array}{l} a_1q=3\\ a_1q(1+q+q^2)=13q \end{array}\right . $

Podstawiam zależność z równania pierwszego do równania drugiego:

$3(1+q+q^2)=13q$
$3q^2+3q+3-13q=0$
$3q^2-10q+3=0$

$\Delta =100-36=64$ , $\sqrt{\Delta }=8$

$q_1=\frac{10-8}{2}=1$
$q_2=\frac{10+8}{2}=9$

Zatem mamy dwa równoważne rozwiązania. W pierwszym przypadku najkrótszą krawędzią jest $a_1* 1=3\Rightarrow a_1=3$ , a w drugim przypadku najkrótszą krawędzią jest $a_1* 9=3\Rightarrow a_1=\frac{1}{3}$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość bryły jest równa 27, a suma długości krawędzi jest równa 13. Znajdź długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: