Kąt $\alpha$ jest ostry i cos $\alpha$ =$\frac{1}{3}$ oblicz ( 1+ sin $\alpha$) ($\frac{1}{cos $\alpha$}$ - tg$\alpha$)

Zadanie 2659 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez patrycjaaa9222 , 20.03.2012 21:13
Patrycjaaa9222 20120210134143 thumb
Kąt \alpha jest ostry i cos \alpha =\frac{1}{3} oblicz ( 1+ sin \alpha) (\frac{1}{cos \alpha} - tg\alpha)

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez wilkmathiu , 21.03.2012 09:38
Wilkmathiu 20120321071722 thumb
Wiemy, że kąt \alpha jest prosty, a w pierwszej ćwiartce (od 0 do 90 stopni) wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych są dodatnie (w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus- ładny wierszyk nieprawdaż :)). No ale co nam to daje?...otóż wiemy, że sinus jest dodatni. Wyznaczymy go sobie z jedynki trygonometrycznej:

sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1

cos^2\alpha = \frac{1}{3}*\frac{1}{3}=\frac{1}{9}

a zatem:

sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

czyli:

sin\alpha = \frac{2\sqrt(2)}{3}

tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{2\sqrt(2)}{3} dzielone przez \frac{1}{3} czyli innymi słowy razy 3, które się uprości i mamy:

tg\alpha = 2\sqrt(2)

1 + sin\alpha = \frac{3}{3} + \frac{2\sqrt(2)}{3} = \frac{3 + 2\sqrt(2)}{3}

\frac{1}{cos\alpha} = 3

\frac{1}{cos\alpha} - tg\alpha = 3 - 2\sqrt(2)

(1 + sin\alpha) (\frac{1}{cos\alpha} - tg\alpha) = \frac{3 + 2\sqrt(2)}{3}*3 - 2\sqrt(2) = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3}

To 9 - 8 się wzięło ze wzoru skróconego mnożenia a-b razy a+b równe jest a kwadrat i b kwadrat, natomiast dwa pierwiastki z dwóch do kwadratu to jest cztery razy dwa, czyli 8. Można było to zadanie zrobić też szybciej. Wystarczy zauważyć, że tg = sin/cos, wtedy mamy (1 + sin)(1-sin)/cos = (1 - sin^2)/cos = cos^2/cos = cos, a cosinus alfa = 1/3
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.