Kąt $\alpha$ jest ostry i cos $\alpha$ =$\frac{1}{3}$ oblicz ( 1+ sin $\alpha$) ($\frac{1}{cos $\alpha$}$ - tg$\alpha$)

Wiemy, że kąt jest prosty, a w pierwszej ćwiartce (od 0 do 90 stopni) wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych są dodatnie (w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus- ładny wierszyk nieprawdaż :)). No ale co nam to daje?...otóż wiemy, że sinus jest dodatni. Wyznaczymy go sobie z jedynki trygonometrycznej:

+ = 1

= *=

a zatem:

= 1 - =

czyli:

=

= = dzielone przez czyli innymi słowy razy 3, które się uprości i mamy:

=

1 + = + =

= 3

- = 3 -

(1 + ) ( - ) = = =

To 9 - 8 się wzięło ze wzoru skróconego mnożenia a-b razy a+b równe jest a kwadrat i b kwadrat, natomiast dwa pierwiastki z dwóch do kwadratu to jest cztery razy dwa, czyli 8. Można było to zadanie zrobić też szybciej. Wystarczy zauważyć, że tg = sin/cos, wtedy mamy (1 + sin)(1-sin)/cos = (1 - sin^2)/cos = cos^2/cos = cos, a cosinus alfa = 1/3