Prostopadłościan o podstawie kwadratu o boku a i wys. h ma objętośc 20 i pole pow. całkowitej 48. Obliczyc długości krawędzi.

Zadanie dodane przez ekok , 25.04.2012 12:16

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 25.04.2012 14:20

Objętość:

$V=a^2h$
$20=a^2h$

Pole powierzchni całkowitej:

$P=2a^2+4ah$
$48=2a^2+4ah$
$24=a^2+2ah$

Otrzymujemy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:

$ \left \{ \begin{array}{l} 20=a^2h\\ 24=a^2+2ah \end{array}\right . $

Z pierwszego równania wyznaczę $h$ , a następnie podstawię otrzymaną zależność do równania drugiego:

$h=\frac{20}{a^2}$
$\Downarrow$
$24=a^2+2a* \frac{20}{a^2}$

$24=a^2+\frac{40}{a}$

Pomnożę obie strony równania przez $a$ :

$24a=a^3+40$
$\Downarrow$
$a^3-24a+40=0$

Powyższą zależność wielomianową rozłożę na czynniki i znajdę wartość $a$ :

$(a-2)(a^2+2a-20)=0$

$a=2$
lub
$a^2+2a-20=0$

$\Delta = 4+80=84$ , $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{21}$

$a_1=\frac{-2-2\sqrt{21}}{2}=-1-\sqrt{21}<0$ długość krawędzi nie może być ujemna

$a_2=\frac{-2-2\sqrt{21}}{2}=-1+\sqrt{21}$

Zatem istnieją dwa takie prostopadłościany oraz mają one następujące wymiary:
$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{}$ 2\times 2\times 5 $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{}$
oraz
$\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{}$ (\sqrt{21}-1)\times (\sqrt{21}-1)\times \left ( \frac{20}{(\sqrt{21}-1)^2}\right ) $\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{}$

- ekok 25.04.2012 17:47
  
  bardzo dziękuję :)
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Prostopadłościan o podstawie kwadratu o boku a i wys. h ma objętośc 20 i pole pow. całkowitej 48. Obliczyc długości krawędzi.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: