Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 10cm. Ściana boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość i pole podstawy bocznej

Zadanie dodane przez iwonka19933 , 18.12.2012 21:48

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 20.12.2012 09:52

Odpowiedni rysunek znajduje się w załączniku.

Ostrosłup ten ma w podstawie kwadrat. Zielony odcinek jest równy połowie długości krawędzi podstawy (czyli połowie długości boku kwadratu) $\cfrac{a}{2}$ .

Czerwony odcinek z kolei jest wysokością ściany bocznej $h$ .

Skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych:

$tg60^{\circ }=\cfrac{10}{\cfrac{a}{2}}$

$tg60^{\circ }=\cfrac{20}{a}$

$\sqrt{3}=\cfrac{20}{a}$

$a\sqrt{3}=20$

$a=\cfrac{20\sqrt{3}}{3}$

Zatem możemy już policzyć pole podstawy, a zaraz później objętość:

$P_p=a^2=\cfrac{400}{3}$

$V=\cfrac{1}{3}* P_p* H$

$V=\cfrac{4000}{9}$

Teraz jeszcze obliczmy pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Składa się ono z czterech takich samych trójkątów, których podstawą jest odcinek $a$ , a wysokością czerwony odcinek $h$ .

Wyznaczę długość tej wysokości korzystając z funkcji trygonometrycznych:

$\sin 60^{\circ }=\cfrac{10}{h}$

$\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{10}{h}$

$h\sqrt{3}=20$

$h=\cfrac{20\sqrt{3}}{3}$

Zatem teraz można już obliczyć pole powierzchni bocznej:

$P_b=4* \cfrac{a* h}{2}$

$P_b=2ah$

$P_b=2* \cfrac{20\sqrt{3}}{3}* \cfrac{20\sqrt{3}}{3}$

$P_b=\cfrac{800}{3}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 10cm. Ściana boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość i pole podstawy bocznej

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: