Przekątne ścian bocznych graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny mają: 3\sqrt{5} 2\sqrt{13} \sqrt{61}. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

*boki trójkąta prostokatnego a,b,c
a ich zależność to c^{2}=a^{2}+b^{2} tw.Pitagorasa

*przekątne ścian bocznych graniastosłupa w zależności od jego boków

d_{1}=3V5

d_{2}=2V13

d_{3}=V61

*rozwiązanie zadania rozpatrujemy w zalezności od boków trójkąta
*tworzymy układ trzech równań w celu obliczenia boków i wys.H graniastosłupa

=
=
=

*do równań podstawiamy dane z zadania

(1) (3V5)^{2}=a^2+H^{2}
(2) (2v13)^{2}=b^{2}+H^{2}
(3) (V61)^{2}=c^{2}+H^{2}

*dodajemy do siebie równania (1)i(2)

(1)(2) ( 3V5)^{2}+(2V13)^{2}=a^{2}+b^{2}+2*H^{2} (podstawiamy c^{2}=a^{2}+b^{2})
(3) (V61)^{2}=c^{2} +H^{2} (odejmujemy od (1)(2)

(3V5)^{2}+(2V13)^{2}-(V61)^{2}=H^{2}

=9*5+4*13-61
=36

H=6

*obliczamy boki prostokąta podstawiajac H=6 do poszczególnych równań (1)(2)(3)

(3V5)^{2}=a^{2}+H^{2}
(3V5)^{2}=a^{2}+6^{2}

=(3V5)^{2}-6^{2}
=9*5-36=9
a=9

(2V13)^{2}=b^{2}+H^{2}

=(2V13)^{2}-6^{2}
=4*13-36=16
b=4

(V61)^{2}=c^{2}+6^{2}
=(V61)^{2}-6^{2}
=61-36=25
c=5

*obliczamy pole trójkata

P=*a*b
P=*9*4=36/2
P=18

Obj.gran.=Pp*H=18*6=10 j^{3}


(V oznacza pierwiastek)