Masz pytania? Zadzwoń: (12) 400 46 75 lub napisz.

Zadanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości 10 cm, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kontem a=30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowej tego ostrosłupa.

Zadanie 717 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez asmila , 22.11.2011 16:52
Default avatar
Zadanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości 10 cm, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kontem a=30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowej tego ostrosłupa.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 24.11.2011 08:16
Science4u 20110912181541 thumb

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

Krawędź boczna tego otrosłupa wraz z wysokością oraz połową przekątnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny, co więcej kąt \alpha pomiędzy krawędzią boczną, a połową przekątnej ma miarę 30^{\circ }.

Oznaczę przez x połowę przekątnej podstawy, wtedy z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy równanie:

\mathrm{ctg} 30^{\circ }=\frac{x}{10}

\sqrt{3}=\frac{x}{10}

\Downarrow

x=10\sqrt{3}

Zatem cała przekątna podstawy ma długość 2x=20\sqrt{3}.

Skorzystam teraz ze wzoru na przekątną kwadratu: d=a\sqrt{2}, aby wyznaczyć długość krawędzi podstawy a, zatem:

20\sqrt{3}=a\sqrt{2}

\Downarrow

a=\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{2}}* \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

a=\frac{20\sqrt{6}}{2}

a=10\sqrt{6}

Można wreszcie przystąpić do obliczeń pola powierzchni całkowitej P_c tego ostrosłupa. Najpierw wyznaczę pole podstawy P_p:

P_p=a^2=100* 6=600

Teraz jeszcze należy wyznaczyć pole powierzchni bocznej P_b.
W naszym przypadku mamy cztery identyczne trójkąty, które są ścianami bocznymi. Aby wyznaczyć pole jednej ściany bocznej, musimy znać jej wysokość h.
W tym celu wezmę trójkąt, składający się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz z połowy krawędzi podstawy. Jest to trójkąt prostokątny, więc można skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zatem:

h^2=10^2+\left ( \frac{a}{2}\right ) ^2

h^2=100+(5\sqrt{6})^2

h^2=100+25* 6

h^2=100+150

h^2=250

\Downarrow

h=\sqrt{250}=5\sqrt{10}

Można teraz już wyznaczyć pole powierzchni bocznej:

P_b=4* \frac{a* h}{2}

P_b=4* \frac{10\sqrt{6}* 5\sqrt{10}}{2}

P_b=2* 50\sqrt{60}

P_b=100\sqrt{4* 15}

P_b=200\sqrt{15}

Na zakończenie należy zsumować pole podstawy z polem powierzchni bocznej, aby wyznaczyć pole powierzchni całkowitej:

P_c=P_p+P_b=600+200\sqrt{15}
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.