Zadanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości 10 cm, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kontem a=30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowej tego ostrosłupa.

Zadanie dodane przez asmila , 22.11.2011 16:52

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 24.11.2011 08:16

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

Krawędź boczna tego otrosłupa wraz z wysokością oraz połową przekątnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny, co więcej kąt $\alpha$ pomiędzy krawędzią boczną, a połową przekątnej ma miarę $30^{\circ }$ .

Oznaczę przez $x$ połowę przekątnej podstawy, wtedy z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym otrzymujemy równanie:

$\mathrm{ctg} 30^{\circ }=\frac{x}{10}$

$\sqrt{3}=\frac{x}{10}$

$\Downarrow$

$x=10\sqrt{3}$

Zatem cała przekątna podstawy ma długość $2x=20\sqrt{3}$ .

Skorzystam teraz ze wzoru na przekątną kwadratu: $d=a\sqrt{2}$ , aby wyznaczyć długość krawędzi podstawy $a$ , zatem:

$20\sqrt{3}=a\sqrt{2}$

$\Downarrow$

$a=\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{2}}* \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$a=\frac{20\sqrt{6}}{2}$

$a=10\sqrt{6}$

Można wreszcie przystąpić do obliczeń pola powierzchni całkowitej $P_c$ tego ostrosłupa. Najpierw wyznaczę pole podstawy $P_p$ :

$P_p=a^2=100* 6=600$

Teraz jeszcze należy wyznaczyć pole powierzchni bocznej $P_b$ .
W naszym przypadku mamy cztery identyczne trójkąty, które są ścianami bocznymi. Aby wyznaczyć pole jednej ściany bocznej, musimy znać jej wysokość $h$ .
W tym celu wezmę trójkąt, składający się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz z połowy krawędzi podstawy. Jest to trójkąt prostokątny, więc można skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zatem:

$h^2=10^2+\left ( \frac{a}{2}\right ) ^2$

$h^2=100+(5\sqrt{6})^2$

$h^2=100+25* 6$

$h^2=100+150$

$h^2=250$

$\Downarrow$

$h=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$

Można teraz już wyznaczyć pole powierzchni bocznej:

$P_b=4* \frac{a* h}{2}$

$P_b=4* \frac{10\sqrt{6}* 5\sqrt{10}}{2}$

$P_b=2* 50\sqrt{60}$

$P_b=100\sqrt{4* 15}$

$P_b=200\sqrt{15}$

Na zakończenie należy zsumować pole podstawy z polem powierzchni bocznej, aby wyznaczyć pole powierzchni całkowitej:

$P_c=P_p+P_b=600+200\sqrt{15}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Zadanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości 10 cm, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kontem a=30 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowej tego ostrosłupa.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: