Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego maja długość 12cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej. Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Zadanie dodane przez konto-usuniete , 21.03.2014 16:13

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Draghan , 22.03.2014 14:57

Nie dam głowy, że gdzieś nie zrobiłem błędu :P
To tak:
$a = 12$
$Pc=Pb+Pp$
gdzie Pc - pole całkowite, Pb - pole boczne, Pp - pole podstawy
Pole boczne składa się w tym przypadku z czterech tójkątów równobocznych, zatem:
$Pb = 4*\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=a^{2}\sqrt{3}$

$Pb = 12^{2}\sqrt{3} = 144\sqrt{3}$
$Pp = a^{2}$
$Pp = 144$
$Pc = 144+144\sqrt{3}$

Teraz liczymy sinus nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Na rysunku zaznaczone jest tym czerwonym kolorem - chodzi konkretnie o nachylenie wysokości ściany bocznej (h) do podstawy.
Sinus to stosunek wysokości ostrosłupa do wysokości ściany bocznej.
$sin\ \alpha=\frac{H}{h}$

Musimy teraz wyliczyć obydwie wysokości.
Wysokość ściany bocznej policzymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, zaś wysokość ostrosłupa - z twierdzenia Pitagorasa :)
Zatem do dzieła:
Najpierw policzymy wysokość ściany bocznej.
$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$h=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

Teraz wysokość ostrosłupa:
$H^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=h^{2}$
$\frac{a}{2}=6$
$h^{2}=(6\sqrt{3})^{2}=36*3=108$
$H^{2}=108-6^{2}=72$
$H=\sqrt{72}=\sqrt{9*8}=3\sqrt{8}=3\sqrt{4*2}=3*2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
Mamy już chyba wszystkie potrzebne wartości, do wyliczenia sinusa z szukanego kąta.
$sin\ \alpha=\frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

- konto-usuniete 22.03.2014 18:30
  
  Dziękuje
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego maja długość 12cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej. Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: