Masz pytania? Zadzwoń: (12) 400 46 75 lub napisz.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Odległość spodka wysokości od krawędzi bocznej jest równa 6. Wysokość ostrosłupa tworzy z wysokością ściany bocznej kąt o mierze $60^{\circ}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tej bryły.

Zadanie 783 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez dawid11204 , 27.11.2011 17:41
Dawid11204 20111106074654 thumb
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Odległość spodka wysokości od krawędzi bocznej jest równa 6. Wysokość ostrosłupa tworzy z wysokością ściany bocznej kąt o mierze 60^{\circ}. Oblicz pole powierzchni bocznej tej bryły.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 28.11.2011 21:43
Science4u 20110912181541 thumb

W podstawie mamy trójkąt równoboczny, a spodek wysokości tego ostrosłupa jest punktem przecięcia się wysokości h w tym trójkącie. Dla trójkąta równobocznego dzielą się one w stosunku 1 : 2, zatem:

\frac{1}{3}h=6

\Downarrow

h=18

Dalej ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym możemy wyznaczyć krawędź podstawy tego ostrosłupa:

h=\frac{a\sqrt{3}}{2}

18=\frac{a\sqrt{3}}{2}

\Downarrow

a=\frac{36}{\sqrt{3}}* \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

a=\frac{36\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}


Aby wyznaczyć pole powierzchni bocznej P_b tego ostrosłupa wystarczy obliczyć pole jednej ściany bocznej i potem przemnożyć wynik przez trzy (ściany boczne są trójkątami przystającymi).

Do wyznaczenia pola pojedynczej ściany bocznej brakuje jeszcze jej wysokości, oznaczę ją przez h_b.

Należy zwrócić uwagę, że dcinek będący odległością spodka od ściany bocznej, wysokość ostrosłupa oraz wysokość ściany bocznej stanowią trójkąt prostokątny, gdzie kąt pomiędzy tymi wysokościami jest równy 60^{\circ }.

Zachodzi zatem równanie:

\sin 60^{\circ }=\frac{6}{h_b}

\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{h_b}

\Downarrow

h_b=\frac{12}{\sqrt{3}}* \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

h_b=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}


Zatem pole powierzni bocznej tego ostrosłupa to:

P_b=3* \frac{a* h_b}{2}=3* \frac{12\sqrt{3}* 4\sqrt{3}}{2}=3* 6* 4* 3=216
    • Dawid11204 20111106074654 thumb
      dawid11204 30.11.2011 06:43

      długość krawędzi podstawy powinna wyjść: a=6\sqrt{39}, a krawędź boczna: b=13\sqrt{13}.
      Wysokość ściany bocznej: h=2\sqrt{39}. P_{b}=702

    • J0asia 20120424183206 thumb
      j0asia 06.05.2012 10:28

      wszędzie gdzie szukam rozwiązania tego zadania jest inne niż w karcie odpowiedzi, czyżby było aż tak trudne dla podstawy?

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.