zadanie 6 na trójkącie równoramiennym abc o podstawie Ab i kacie miendzy ramionami o mierze równej 45 stopni opisano okrąg o środku w punkcie O. długość promienia tego okręgu jest równa 8 . oblicz pole trójkąta ABC

Zadanie dodane przez niunia92539253 , 29.11.2012 13:39

zadanie 6
na trójkącie równoramiennym abc o podstawie Ab i kacie miendzy ramionami o mierze równej 45 stopni opisano okrąg o środku w punkcie O. długość promienia tego okręgu jest równa 8 . oblicz pole trójkąta ABC

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 30.11.2012 10:04

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny, a więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

Poprowadźmy promienie okręgu do dwóch wierzchołków - przy podstawie i między ramionami.

Wówczas otrzymujemy trójkąt równoramienny, którego ramiona mają długość $8$ , a kąt między tymi ramionami to $135^{\circ }$ . Trzeci bok tego trójkąta oznaczmy jako $b$ , jest on jednocześnie ramieniem trójkąta $ABC$ .

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

$8^2+8^2-2* 8* 8* \cos 135^{\circ }=b^2$

$64+64-128* (-\sin 45^{\circ })=b^2$

$128-128* \left ( -\cfrac{\sqrt{2}}{2}\right ) =b^2$

$128+64\sqrt{2}=b^2$
$\Downarrow$
$b=8\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Teraz aby policzyć pole trójkąta $ABC$ wystarczy skorzystać ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}* b* b* \sin 45^{\circ }$

$P=\cfrac{1}{2}* 8\sqrt{2+\sqrt{2}}* 8\sqrt{2+\sqrt{2}}* \cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$P=32(2+\sqrt{2})* \cfrac{\sqrt{2}}{2}$

$P=32+32\sqrt{2}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

zadanie 6 na trójkącie równoramiennym abc o podstawie Ab i kacie miendzy ramionami o mierze równej 45 stopni opisano okrąg o środku w punkcie O. długość promienia tego okręgu jest równa 8 . oblicz pole trójkąta ABC

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: