Na półce ustawiono w sposób losowy 8 książek, w tym trzy będące pierwszą, drugą i trzecią częścią tej samej powieści. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) części I, II, III stoją obok siebie (niekoniecznie w kolejności), b) żadne dwie z trzech części nie stoją obok siebie. Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienia szczególnie podpunktu b).

Zadanie 1765 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez dawid11204 , 05.02.2012 09:32
Dawid11204 20111106074654 thumb
Na półce ustawiono w sposób losowy 8 książek, w tym trzy będące pierwszą, drugą i trzecią częścią tej samej powieści. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
a) części I, II, III stoją obok siebie (niekoniecznie w kolejności),
b) żadne dwie z trzech części nie stoją obok siebie.
Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienia szczególnie podpunktu b).

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 05.02.2012 13:00
D mek 20120307223004 thumb
Najpierw opisujesz omegę:
\Omega={(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4},\omega_{5},\omega_{6},\omega_{7},\omega_{8}), \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4},\omega_{5},\omega_{6},\omega_{7},\omega_{8} \in {1,2,3,4,5,6,7,8}}
Teraz sprawdzasz ile w ogóle jest możliwości ustawienia książek (widać, że jest to wariacja bez powtórzeń):
\overline{\overline{\Omega}}= V^{k}_{n} =  V^{8}_{8} = 8*7*6*5*4*3*2*1 (nie wymnażamy, bo łatwiej będzie później skracać)

a)
zd. A "części I, II i II stoją obok siebie (niekoniecznie w kolejności)"
Najłatwiej będzie zauważyć to na kreskach:
\underline{I} \underline{II} \underline{III} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{I} \underline{III} \underline{II} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{III} \underline{II} \underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{III} \underline{I} \underline{II} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{II} \underline{I} \underline{III} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{II} \underline{III} \underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1}
Oczywiście 5,4,3,2,1, to możliwości ułożenia pozostałych książek.
Czyli jest 6*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
\underline{I} \underline{II} \underline{III} _ _ _ _ _ przesuwasz w:
_ \underline{I} \underline{II} \underline{III} _ _ _ _ i tak dalej, aż do końca półki:
_ _ _ _ _ \underline{I} \underline{II} \underline{III}
Czyli to co miałeś wcześniej znowu razy 6. Tak więc wszystkich możliwości ustawienia ich, aby były obok siebie, jest:
\overline{\overline{A}}= 6*6*5! = 6*6*5*4*3*2*1

Jeżeli od razu zauważyłeś tutaj wzory kombinatoryczne, to możesz zrobić to szybciej:
\overline{\overline{A}}= V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} = 6*(3*2*1*5*4*3*2*1) = 6*6*5*4*3*2*1

Teraz liczysz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Czyli:
P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{6*6*5*4*3*2*1}{8*7*6*5*4*3*2*1}  = \frac{3}{28}

Trochę dużo to zajęło, więc podpunkt b zrobię w 2 rozwiązaniu...
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez d_mek , 05.02.2012 14:09
D mek 20120307223004 thumb
b)
zd. B " żadne 2 z 3 części nie stoją obok siebie"
Najłatwiej będzie zauważyć to na kreskach:
\underline{I} \underline{5} \underline{II} \underline{4} \underline{III} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{III} \underline{4} \underline{II} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{II} \underline{5} \underline{I} \underline{4} \underline{III} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{II} \underline{5} \underline{III} \underline{4} \underline{I} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{III} \underline{5} \underline{II} \underline{4} \underline{I} \underline{3} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{III} \underline{5} \underline{I} \underline{4} \underline{II} \underline{3} \underline{2} \underline{1}
Czyli jest 6*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
\underline{I} _ \underline{II} _ \underline{III} _ _ _ przesuwasz w:
_ \underline{I} _ \underline{II} _ \underline{III} _ _ i tak dalej, aż do końca półki:
_ _ _ \underline{I} _ \underline{II} _ \underline{III}
Czyli to co miałeś wcześniej razy 4. Czyli 4*6*5!

Ale jest również możliwe szersze rozłożenie książek:
\underline{I} \underline{5} \underline{II} \underline{4} \underline{3} \underline{III} \underline{2} \underline{1} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{II} \underline{3} \underline{III} \underline{2} \underline{1}
Czyli 2*5!
Nie chcę mi się rozpisywać, ale znowu będzie w każdym odwrócona kolejność (I,II,III)(III,II,I)itd.
Czyli jest 6*2*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
\underline{I} _ \underline{II} _ _ \underline{III} _ _ przesuwasz w:
_ \underline{I} _ \underline{II} _ _ \underline{III} _ i tak dalej, aż do końca półki:
_ _ \underline{I} _ \underline{II} _ _ \underline{III}
Czyli to co miałeś wcześniej razy 3. Czyli 3*6*2*5!

Ale jest również możliwe szersze rozłożenie książek:
\underline{I} \underline{5} \underline{II} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{III} \underline{1} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{II} \underline{3} \underline{2} \underline{III} \underline{1} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{II} \underline{2} \underline{III} \underline{1}
Czyli 3*5!
Nie chcę mi się rozpisywać, ale znowu będzie w każdym odwrócona kolejność (I,II,III)(III,II,I)itd.
Czyli jest 6*3*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
\underline{I} _ \underline{II} _ _ _ \underline{III} _ przesuwasz w:
_ \underline{I} _ \underline{II} _ _ _ \underline{III}
Czyli to co miałeś wcześniej razy 2. Czyli 2*6*3*5!

Ale jest również możliwe szersze rozłożenie książek:
\underline{I} \underline{5} \underline{II} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{1} \underline{III} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{II} \underline{3} \underline{2} \underline{1} \underline{III} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{II} \underline{2} \underline{1} \underline{III} lub
\underline{I} \underline{5} \underline{4} \underline{3} \underline{2} \underline{II} \underline{1} \underline{III}
Czyli 4*5!
Nie chcę mi się rozpisywać, ale znowu będzie w każdym odwrócona kolejność (I,II,III)(III,II,I)itd.
Czyli jest 6*4*5! takich możliwości. (nie da się już dalej przesunąć)

Teraz dodajesz wszystkie możliwości:
\overline{\overline{A}}= 4*6*5! + 3*6*2*5! + 2*6*3*5! + 6*4*5!  = (4+3*2+2*3+4)*6*5! = 20*6*5*4*3*2*1

Teraz liczysz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Czyli:
P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{20*6*5*4*3*2*1}{8*7*6*5*4*3*2*1}  = \frac{5}{14}

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]



    • D mek 20120307223004 thumb
      d_mek 05.02.2012 14:50

      Oczywiście jeżeli w podpunkcie b widzisz od razu wzory kombinatoryczne, to możesz to szybciej zrobić ;]

    • Dawid11204 20111106074654 thumb
      dawid11204 05.02.2012 15:44

      Jak sam to rozwiązywałem doszedłem jedynie do tego, że omega = 8!
      i do momentu 4*6*5! później się jakoś zakręciłem dziwnie ^^
      Wielkie dzięki :)

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.