Na półce ustawiono w sposób losowy 8 książek, w tym trzy będące pierwszą, drugą i trzecią częścią tej samej powieści. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) części I, II, III stoją obok siebie (niekoniecznie w kolejności), b) żadne dwie z trzech części nie stoją obok siebie. Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienia szczególnie podpunktu b).

Zadanie dodane przez dawid11204 , 05.02.2012 09:32

Na półce ustawiono w sposób losowy 8 książek, w tym trzy będące pierwszą, drugą i trzecią częścią tej samej powieści. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:
a) części I, II, III stoją obok siebie (niekoniecznie w kolejności),
b) żadne dwie z trzech części nie stoją obok siebie.
Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienia szczególnie podpunktu b).

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 05.02.2012 13:00

Najpierw opisujesz omegę:
$\Omega$ ={ $(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4},\omega_{5},\omega_{6},\omega_{7},\omega_{8}), \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4},\omega_{5},\omega_{6},\omega_{7},\omega_{8} \in$ {1,2,3,4,5,6,7,8}}
Teraz sprawdzasz ile w ogóle jest możliwości ustawienia książek (widać, że jest to wariacja bez powtórzeń):
$\overline{\overline{\Omega}}= V^{k}_{n} = V^{8}_{8} = 8*7*6*5*4*3*2*1$ (nie wymnażamy, bo łatwiej będzie później skracać)

a)
zd. A "części I, II i II stoją obok siebie (niekoniecznie w kolejności)"
Najłatwiej będzie zauważyć to na kreskach:
$\underline{I}$ $\underline{II}$ $\underline{III}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{III}$ $\underline{II}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{III}$ $\underline{II}$ $\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{III}$ $\underline{I}$ $\underline{II}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{II}$ $\underline{I}$ $\underline{III}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{II}$ $\underline{III}$ $\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$
Oczywiście 5,4,3,2,1, to możliwości ułożenia pozostałych książek.
Czyli jest 6*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
$\underline{I}$ $\underline{II}$ $\underline{III}$ _ _ _ _ _ przesuwasz w:
_ $\underline{I}$ $\underline{II}$ $\underline{III}$ _ _ _ _ i tak dalej, aż do końca półki:
_ _ _ _ _ $\underline{I}$ $\underline{II}$ $\underline{III}$
Czyli to co miałeś wcześniej znowu razy 6. Tak więc wszystkich możliwości ustawienia ich, aby były obok siebie, jest:
$\overline{\overline{A}}= 6*6*5! = 6*6*5*4*3*2*1$

Jeżeli od razu zauważyłeś tutaj wzory kombinatoryczne, to możesz zrobić to szybciej:
$\overline{\overline{A}}= V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} + V^{3}_{3} * V^{5}_{5} = 6*(3*2*1*5*4*3*2*1) = 6*6*5*4*3*2*1$

Teraz liczysz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Czyli:
$P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{6*6*5*4*3*2*1}{8*7*6*5*4*3*2*1} = \frac{3}{28}$

Trochę dużo to zajęło, więc podpunkt b zrobię w 2 rozwiązaniu...

Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez d_mek , 05.02.2012 14:09

b)
zd. B " żadne 2 z 3 części nie stoją obok siebie"
Najłatwiej będzie zauważyć to na kreskach:
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{II}$ $\underline{4}$ $\underline{III}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{III}$ $\underline{4}$ $\underline{II}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{II}$ $\underline{5}$ $\underline{I}$ $\underline{4}$ $\underline{III}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{II}$ $\underline{5}$ $\underline{III}$ $\underline{4}$ $\underline{I}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{III}$ $\underline{5}$ $\underline{II}$ $\underline{4}$ $\underline{I}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{III}$ $\underline{5}$ $\underline{I}$ $\underline{4}$ $\underline{II}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$
Czyli jest 6*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
$\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ $\underline{III}$ _ _ _ przesuwasz w:
_ $\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ $\underline{III}$ _ _ i tak dalej, aż do końca półki:
_ _ _ $\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ $\underline{III}$
Czyli to co miałeś wcześniej razy 4. Czyli 4*6*5!

Ale jest również możliwe szersze rozłożenie książek:
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{II}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{III}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{II}$ $\underline{3}$ $\underline{III}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$
Czyli 2*5!
Nie chcę mi się rozpisywać, ale znowu będzie w każdym odwrócona kolejność (I,II,III)(III,II,I)itd.
Czyli jest 6*2*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
$\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ _ $\underline{III}$ _ _ przesuwasz w:
_ $\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ _ $\underline{III}$ _ i tak dalej, aż do końca półki:
_ _ $\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ _ $\underline{III}$
Czyli to co miałeś wcześniej razy 3. Czyli 3*6*2*5!

Ale jest również możliwe szersze rozłożenie książek:
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{II}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{III}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{II}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{III}$ $\underline{1}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{II}$ $\underline{2}$ $\underline{III}$ $\underline{1}$
Czyli 3*5!
Nie chcę mi się rozpisywać, ale znowu będzie w każdym odwrócona kolejność (I,II,III)(III,II,I)itd.
Czyli jest 6*3*5! takich możliwości, ale rozłożone mogą być na całej półce, więc:
$\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ _ _ $\underline{III}$ _ przesuwasz w:
_ $\underline{I}$ _ $\underline{II}$ _ _ _ $\underline{III}$
Czyli to co miałeś wcześniej razy 2. Czyli 2*6*3*5!

Ale jest również możliwe szersze rozłożenie książek:
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{II}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ $\underline{III}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{II}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ $\underline{III}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{II}$ $\underline{2}$ $\underline{1}$ $\underline{III}$ lub
$\underline{I}$ $\underline{5}$ $\underline{4}$ $\underline{3}$ $\underline{2}$ $\underline{II}$ $\underline{1}$ $\underline{III}$
Czyli 4*5!
Nie chcę mi się rozpisywać, ale znowu będzie w każdym odwrócona kolejność (I,II,III)(III,II,I)itd.
Czyli jest 6*4*5! takich możliwości. (nie da się już dalej przesunąć)

Teraz dodajesz wszystkie możliwości:
$\overline{\overline{A}}= 4*6*5! + 3*6*2*5! + 2*6*3*5! + 6*4*5! = (4+3*2+2*3+4)*6*5! = 20*6*5*4*3*2*1$

Teraz liczysz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Czyli:
$P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{20*6*5*4*3*2*1}{8*7*6*5*4*3*2*1} = \frac{5}{14}$

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

- d_mek 05.02.2012 14:50
  
  Oczywiście jeżeli w podpunkcie b widzisz od razu wzory kombinatoryczne, to możesz to szybciej zrobić ;]
- dawid11204 05.02.2012 15:44
  
  Jak sam to rozwiązywałem doszedłem jedynie do tego, że omega = 8!
  i do momentu 4*6*5! później się jakoś zakręciłem dziwnie ^^
  Wielkie dzięki :)
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: