Wybieramy w sposób losowy trzy spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu trzech wierzchołków trójkąta o polu: a) najmniejszym z możliwych, b) największym z możliwych.

Zadanie dodane przez dawid11204 , 06.02.2012 10:36

Wybieramy w sposób losowy trzy spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu trzech wierzchołków trójkąta o polu:
a) najmniejszym z możliwych,
b) największym z możliwych.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 06.02.2012 23:15

Sześciokąt foremny ma 6 wierzchołków.
Tak więc opisujesz omegę:
$\Omega$ ={ $(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}), \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}\in$ {1,2,3,4,5,6}}
Teraz sprawdzasz ile w ogóle jest możliwości wyboru 3 wierzchołków (widać, że jest to wariacja bez powtórzeń):
$\overline{\overline{\Omega}}= V^{k}_{n} = V^{3}_{6} = 6*5*4$ (nie wymnażamy, bo łatwiej będzie później skracać)

zd. A "3 wierzchołki utworzą trójkąt o najmniejszym możliwym polu"
Teraz najlepiej narysuj sobie taki sześciokąt foremny... (zauważ, że składa się on z 6 trójkątów równobocznych o bokach a i wysokościach $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ )
Są 3 możliwości ułożenia trójkąta z wierzchołków:
(a,a,2h)... P= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
(a,2a,2h)...P= $\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{4}$
(2h,2h,2h)...P= $\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Trójkąt o najmniejszym możliwym polu będzie składał się z (a,a,2h).
Teraz możesz na rysunku sprawdzić ile jest możliwości ułożenia takiego trójkąta.
Wychodzi:
$\overline{\overline{A}}=6$

Teraz liczysz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Czyli:
$P(A)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{6}{6*5*4} = \frac{1}{20}$

zd. B "3 wierzchołki utworzą trójkąt o największym możliwym polu"
Trójkąt o największy możliwym polu będzie składał się z (2h,2h,2h).
Teraz możesz na rysunku sprawdzić ile jest możliwości ułożenia takiego trójkąta.
$\overline{\overline{B}}=2$

$P(B)= \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}} = \frac{2}{6*5*4} = \frac{1}{60}$

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wybieramy w sposób losowy trzy spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu trzech wierzchołków trójkąta o polu: a) najmniejszym z możliwych, b) największym z możliwych.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: