Korzystając m.in. z twierdzenia Eulera obliczyć: a) $22^{2011} mod 13$ b) $2015^{1991} mod 50$

Zadanie 1646 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Makiwarrior , 25.01.2012 17:32
Makiwarrior 20120124110625 thumb
Korzystając m.in. z twierdzenia Eulera obliczyć:
a) 22^{2011} mod 13
b) 2015^{1991} mod 50

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 25.01.2012 20:07
Science4u 20110912181541 thumb

W ponizszych rachunkach znaczek \equiv _{13} oznacza przystawanie modulo 13.

22^{2011}\equiv _{13} (-4)^{2011}=(-4)* (-4)^2010=(-4)* \left ( (-4)^{2}\right  ) ^{1005}=(-4)* 16^{1005}\equiv _{13} (-4)* 3^{1005}=(-4)* \left ( 3^{3}\right ) ^{335}=(-4)* 27^{335}\equiv _{13} (-4)* 1^{335}=-4\equiv _{13} 9

W ponizszych rachunkach znaczek \equiv _{50} oznacza przystawanie modulo 50.

2015^{1991}\equiv _{50} 15^{1991}=15* 15^{1990}=15* \left ( 15^2\right ) ^{995}=15* 225^{995}\equiv _{50} 15* 25^{995}=15* 25* 25^{994}=375* 25^{994}\equiv _{50} 25* \left ( 25^{2}\right ) ^{497}=25* 625^{497}\equiv _{50} 25* 25^{497}=25^{498}=625^{249}\equiv _{50} 25^{249}=25* 25^{248}=25* 625^{124}\equiv _{50} 25* 25^{124}=25* 625^{62}\equiv _{50} 25* 25^{62}=25* 625^{31}\equiv _{50} 25* 25^{31}=25^{32}=625^{16}\equiv _{50} 25^{16}=625^8\equiv _{50} 25^8=625^4\equiv _{50} 25^4=625^2\equiv _{50} 25^2=625\equiv _{50} 25
    • Makiwarrior 20120124110625 thumb
      Makiwarrior 25.01.2012 20:24

      A kiedy można obliczyć sobie \phi (mod) i redukować sobie szybciej? Coś tam było o liczbach wzajemnie pierwszych, ale nie wiem o co dokładnie chodzi.

    • Science4u 20110912181541 thumb
      Science4U 25.01.2012 20:39

      Generalnie wykonując działania modulo n z każdej liczby większej od n "usuwamy" pełne wielokrotności liczby n pozostawiając jedynie resztę. Np. 27=2* 13 +1\equiv _{13}1. A twierdzenia, o którym mówisz nie kojarzę w tej chwili, musiałabym głębiej sięgnąć do literatury.

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.