wskaż rozwiązanie ogólne układu równań metodą operacji elementarnych; $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ = 3 $x_{1}$ - $x_{2}$ - $x_{3}$ =-1 3$x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ =5

Zadanie dodane przez dianapw , 24.01.2012 23:59

wskaż rozwiązanie ogólne układu równań metodą operacji elementarnych;

$x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ = 3
$x_{1}$ - $x_{2}$ - $x_{3}$ =-1
3 $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ =5

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 25.01.2012 10:34

Najpierw układ ten należy zapisać w postaci macierzowej:

$ \left [ \begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 1&-1&-1\\ 3&1&1\\ \end{array}\right ] * \left [ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right ] = \left [ \begin{array}{r} 3\\ -1\\ 5\\ \end{array}\right ] $

Skoro należy to rozwiązać metodą operacji elementarnych, to tworzymy macierz uzupełnioną:

$ \left [ \begin{array}{rrr|r} 1&1&1&3\\ 1&-1&-1&-1\\ 3&1&1&5\\ \end{array}\right ] \underrightarrow{\begin{array}{l} W_2-W_1\\ W_3-3* W_1 \end{array}} \left [ \begin{array}{rrr|r} 1&1&1&3\\ 0&-2&-2&-4\\ 0&-2&-2&-4\\ \end{array}\right ] \underrightarrow{\begin{array}{l} W_3-W_2 \end{array}} \left [ \begin{array}{rrr|r} 1&1&1&3\\ 0&-2&-2&-4\\ 0&0&0&0\\ \end{array}\right ] $

Ponieważ otrzymaliśmy zerowy wiersz, dlatego jest to układ nieoznaczony, który ma nieskończenie wiele rozwiązań i zależy od jednego parametru rzeczywistego. Po zapisaniu z powrotem jako układ równań otrzymujemy:

$ \left \{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2+x_3&=&3\\ -2x_2-2x_3&=&-4\\ \end{array}\right . $

$ \left \{ \begin{array}{rcl} x_1&=&3-x_2-x_3\\ x_2&=&2-x_3\\ \end{array}\right . $

Zatem rozwiązaniem jest:

$ \left \{ \begin{array}{rcl} x_1&=&1\\ x_2&=&2-t\\ x_3&=&t \end{array}\right . $
gdzie $t\in\mathbb{R}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

wskaż rozwiązanie ogólne układu równań metodą operacji elementarnych; $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ = 3 $x_{1}$ - $x_{2}$ - $x_{3}$ =-1 3$x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ =5

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: