Udowodnij: $\sqrt{2^{50}+1}$+$\sqrt{2^{50}-1}$

Zadanie dodane przez AnnaS , 26.03.2012 09:18

Udowodnij:
$\sqrt{2^{50}+1}$ + $\sqrt{2^{50}-1}$ < $2^{26}$

Nadesłane rozwiązania ( 3 )

Rozwiązanie 1 dodane przez alexandra_143 , 28.03.2012 15:41

Nierówność podnosimy obustronnie do kwadratu . Wtedy zostaje:
$2^{50}+1+2^{50}-1<4^{52}$
$(2*2)^{50}<4^{52}$
czyli:
&4^{50}<4^{52}$
c.n.w.

- AnnaS 29.03.2012 19:13
  
  No niestety to nie jest poprawnie podniesione do kwadratu... Z lewej strony mamy SUMĘ pierwiastków, natomiast z prawej też jest źle (powinno być $4^{26}$ lub $2^{52}$ ).
- AnnaS 29.03.2012 19:15
  
  Niestety nie jest to prawidłowo podniesione do kwadratu... Z lewej strony mamy SUMĘ pierwiastków do kwadratu, natomiast z prawej powinny być 2^52 lub 4^26.
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez agus093 , 02.04.2012 18:20

$2^{50}$ + 1 + 2 * ( $2^{50}$ + 1 ) ( $2^{50}$ - 1) + $2^{50}$ - 1 < $2^{25}$

- AnnaS 02.04.2012 20:44
  
  $2^{25}$ ???
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 3 dodane przez AnnaS , 06.05.2012 08:07

No to chyba czas na prawidlowe rozwiazanie tego zadania z informatora maturalnego 2010:
$\sqrt{2^{50}+1}$ + $\sqrt{2^{50}-1}$ < $2^{26}$ rzeczywiscie trzeba podniesc obustronnie do kwadratu. Wtedy:
$2^{50}+1+2*\sqrt{2^{50}+1}*\sqrt{2^{50}-1}+2^{50}-1<2^{52}$
$2^{51}+2*\sqrt{(2^{50}+1)(2^{50}-1)}<2^{52}$
$2*\sqrt{(2^{50}+1)(2^{50}-1)}<2*2^{51}-2^{51}$
$2*\sqrt{2^{50*2}-1}<2^{51}*(2-1)$
$2*\sqrt{2^{100}-1}<2^{51}$ /:2
$\sqrt{(2^{100}-1)}<2^{50}$ / obustronnie do kwadratu
$2^{100}-1<2^{100}$
Co jest spelnione.

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Udowodnij: $\sqrt{2^{50}+1}$+$\sqrt{2^{50}-1}$

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 3 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: