wyznacz punkt przegięcia oraz przedziały w których funkcja jest wypukła lub wklęsła; x do 5-5x do 4+5x do 3+1

Zadanie dodane przez dianapw , 02.01.2012 06:19

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 05.01.2012 16:46

Punkty przegięcia to miejsca zerowe drugiej pochodnej. Przy czym trzecia pochodna w tych punktach musi być różna od zera, zatem:

$f(x)=x^5-5x^4+5x^3+1$
pierwsza pochodna:
$f'(x)=5x^4-20x^3+15x^2$
druga pochodna:
$f''(x)=20x^3-60x^2+30x$
miejsca zerowe:
$20x^3-60x^2+30x=0$
$10x(2x^2-6x+3)=0$

stąd:
$x=0$

lub:
$2x^2-6x+3=0$
$\Delta =36-32=4$

$x_1=\frac{6-2}{4}=1$

$x_2=\frac{6+2}{4}=2$

trzecia pochodna:
$f'''(x)=60x^2-120x+30$

$f'''(0)=30\neq 0$
$f'''(1)=60-120+30=-30\neq 0$
$f'''(2)=240-240+30=30\neq 0$

Zatem istnieją trzy punkty przegięcia: $0$ , $1$ i $2$ .

WYPUKŁOŚĆ funkcji:

$f''(x)>0$

Zatem dla $x\in (0;1)\cup (2;+\infty )$ funkcja $f$ jest wypukła.

WKLĘSŁOŚĆ funkcji:

$f''(x)<0$

Zatem dla $x\in (-\infty ;0)\cup (1;2)$ funkcja $f$ jest wklęsła.

- Trzymak 28.01.2022 00:21
  
  Jest błąd w delcie powinno być 36 - 24 i wtedy równanie inaczej się układają.
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

wyznacz punkt przegięcia oraz przedziały w których funkcja jest wypukła lub wklęsła; x do 5-5x do 4+5x do 3+1

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: