wyznacz punkt przegięcia oraz przedziały w których funkcja jest wypukła lub wklęsła; x do 5-5x do 4+5x do 3+1

Zadanie 1315 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez dianapw , 02.01.2012 06:19
Dianapw 20120102055223 thumb
wyznacz punkt przegięcia oraz przedziały w których funkcja jest wypukła lub wklęsła; x do 5-5x do 4+5x do 3+1

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 05.01.2012 16:46
Science4u 20110912181541 thumb

Punkty przegięcia to miejsca zerowe drugiej pochodnej. Przy czym trzecia pochodna w tych punktach musi być różna od zera, zatem:

f(x)=x^5-5x^4+5x^3+1
pierwsza pochodna:
f'(x)=5x^4-20x^3+15x^2
druga pochodna:
f''(x)=20x^3-60x^2+30x
miejsca zerowe:
20x^3-60x^2+30x=0
10x(2x^2-6x+3)=0

stąd:
x=0

lub:
2x^2-6x+3=0
\Delta =36-32=4

x_1=\frac{6-2}{4}=1

x_2=\frac{6+2}{4}=2

trzecia pochodna:
f'''(x)=60x^2-120x+30

f'''(0)=30\neq 0
f'''(1)=60-120+30=-30\neq 0
f'''(2)=240-240+30=30\neq 0

Zatem istnieją trzy punkty przegięcia: 0, 1 i 2.

WYPUKŁOŚĆ funkcji:

f''(x)>0

Zatem dla x\in (0;1)\cup (2;+\infty ) funkcja f jest wypukła.

WKLĘSŁOŚĆ funkcji:

f''(x)<0

Zatem dla x\in (-\infty ;0)\cup (1;2) funkcja f jest wklęsła.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.