Rozwiąż równania różniczkowe przy warunkach początkowych: y''+4y=3sint+10cos3t, y(0)=-2, y'(0)=3

y''+4y=3\sin t+10\cos 3t
y(0)=-2, y'(0)=3
Jest to równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach.

Aby je rozwiązać należy najpierw znaleźć rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, później rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, następnie zapisać rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego, a na koniec należy uwzględnić warunki początkowe, a więc:


1) ROZWIĄZANIE OGÓLNE RÓWNANIA JEDNORODNEGO



Tworzymy równanie charakterystyczne:




Zatem rozwiązaniami równania charakterystycznego są:

oraz

Stąd rozwiązaniem naszego równania jednorodnego jest:
y=C_1e^{0\cdot t}+C_2e^{-4\cdot t}
y=C_1+C_2e^{-4t}
Gdzie i to pewne stałe rzeczywiste.

2) ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE RÓWNANIA NIEJEDNORODNEGO

Podzielę to zadanie na dwie części i dwukrotnie zastosuję metodę przewidywań:

a)

Całka szczególna będzie miała postać:
y_1=a\sin t+b\cos t
Należy teraz znaleźć współczynniki i , podstawiając przewidziane rozwiązanie do powyższego równania:





Po podstawieniu otrzymujemy:







Z porównania obu stron otrzymujemy: ,

Zatem rozwiązaniem szczególnym będzie:
y_1=\sin t

b)

Całka szczególna będzie miała postać:
y_2=a\sin 3t+b\cos 3t
Należy teraz znaleźć współczynniki i , podstawiając przewidziane rozwiązanie do powyższego równania:





Po podstawieniu otrzymujemy:







Z porównania obu stron otrzymujemy: ,

Zatem rozwiązaniem szczególnym będzie:
y_2=-2\cos 3t

Stąd rozwiązaniem szczególnym naszego równania niejednorodnego jest:
y=y_1+y_2=\sin t -2\cos 3t

3) ROZWIĄZANIE OGÓLNE RÓWNANIA NIEJEDNORODNEGO

Jest to suma rozwiązań z punktów 1) i 2), a więc:
y=C_1+C_2e^{-4t}+\sin t -2\cos 3t

4) UWZGLĘDNIENIE WARUNKÓW POCZĄTKOWYCH

Teraz należy znaleźć wartości stałych oraz .



Możemy zatem już rozwiązać układ równań:













Zatem ostatecznie rozwiązaniem tego zadania jest:
y=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}e^{-4t}+\sin t -2\cos 3t