2.Zbadaj monotoniczność oraz wyznacz ekstrema lokalne funkcji. a) f(x)=x^3-4x^2+12x+7 b) f(x)=x^3+2x^2+4x-1 c) f(x)=2x^3-9x^2-24x+12

Zadanie dodane przez Paulusia1606 , 18.01.2013 11:28

2.Zbadaj monotoniczność oraz wyznacz ekstrema lokalne funkcji.
a) f(x)=x^3-4x^2+12x+7
b) f(x)=x^3+2x^2+4x-1
c) f(x)=2x^3-9x^2-24x+12

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez monijatcz , 19.01.2013 18:22

we wszystkich przykładach dziedzina rzeczywista: D=R
a)
obliczamy pierwszą pochodną
$f '(x)=3x^2-8x+12$
f '(x)=0 gdy
$3x^2-8x+12=0$
$\Delta=(-8)^2-4*3*12=64-144=-80$
brak miejsc zerowych pochodnej, zatem funkcja nie ma ekstremum
skoro f' to funkcja kwadratowa, której parabola ma ramiona do góry i jest cała nad osią x to :
f'(x)>0 dla kazdego $x\inR$
oDP: Funkcja f jest rosnąca dla $x\in R$ i nie ma ekstremum.
b)
$f '(x)=3x^2+4x+4$
f '(x)=0 gdy
$3x^2+4x+4=0$
$\Delta=4^2-4*3*4=16-48=-32$
brak miejsc zerowych pochodnej, zatem funkcja nie ma ekstremum
skoro f' to funkcja kwadratowa, której parabola ma ramiona do góry i jest cała nad osią x to :
f'(x)>0 dla kazdego $x\inR$
oDP: Funkcja f jest rosnąca dla $x\in R$ i nie ma ekstremum.
c)
$f '(x)=6x^2-18x-24$
f '(x)=0 gdy
$6x^2-18x-24=0$ |:6
$x^2-3x-4=0$
$\Delta=(-3)^2-4*1*(-4)=9+16=25$
$x_1=\frac{3-5}{2*1}=\frac{-2}{2}=-1$
$x_2=\frac{3+5}{2*1}=\frac{8}{2}=4$
rysujemy oś liczbową, zaznaczamy -1 i 4, rysujemy parabolę o ramionach do góry,i kolejno odczytujemy
f '(x)>0 dla $x\in(-\infty;-1)\cup (4;+\infty)$
f '(x) <0 dla $x\in (-1;4)$
zatem mamy dwa ekstrema lokalne:
$f_{max}(-1)=6*(-1)^1-18*(-1)-24=6+18-24=0$
$f_{min}(4)=6*4^2-18*4-24=16-72-24=-80$
Odp: Funkcja jest rosnąca dla $x\in(-\infty;-1)\cup (4;+\infty)$ ,
funkcja f jest malejąca dla $x\in (-1;4)$ .
posiada minimu lokalne: $f_{min}(4)=-80$ oraz maksimum lokalne: $f_{max}(-1)=0$

PS. nie wiem jak miałaś na zajęciach, ale na niektórych każą domykac wszystkie przedziały monotoniczności, a na niektórych każą tykllko z jednej strony, więc ja nigdzie nie zamykałam przedziałów,. Musisz zatem dostosowac sama odpowiedź do tego co miałaś na zajęciach. :)

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

2.Zbadaj monotoniczność oraz wyznacz ekstrema lokalne funkcji. a) f(x)=x^3-4x^2+12x+7 b) f(x)=x^3+2x^2+4x-1 c) f(x)=2x^3-9x^2-24x+12

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: