2. . Zbadaj monotoniczność oraz wyznacz ekstrema lokalne funkcji. h) f(x)=(x^2+2x+1)/(x-2) i) f(x)=(-2x^2+10)/(x+3) j) f(x)=(x^2+x+3)/(x-4) k) f(x)=(-x^2-3x-1)/(x+3)

Zadanie dodane przez Paulusia1606 , 18.01.2013 22:35

2. . Zbadaj monotoniczność oraz wyznacz ekstrema lokalne funkcji.

h) f(x)=(x^2+2x+1)/(x-2)
i) f(x)=(-2x^2+10)/(x+3)
j) f(x)=(x^2+x+3)/(x-4)
k) f(x)=(-x^2-3x-1)/(x+3)

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 21.01.2013 20:11

h)

Aby zbadać monotoniczność funkcji należy określić znaki jej pierwszej pochodnej, natomiast ekstrema funkcji są miejscami zerowymi pierwszej pochodnej, ale bierzemy pod uwagę tylko te, dla których następuje zmiana monotoniczności. Może po kolei:

1) Dziedzina funkcji $f$ :

$D_f=\mathbb{R}\setminus \{ 2\}$

$x=2$ jest asymptotą pionową funkcji $f$

Pierwsza pochodna:

$f'(x)=\cfrac{(2x+2+0)(x-2)-(x^2+2x+1)(1-0)}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\cfrac{2x^2-4x+2x-4-x^2-2x-1}{(x-2)^2}$
$f'(x)=\cfrac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}$

2) Teraz znaki pierwszej pochodnej:

$f'(x)>0$

$\cfrac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}>0$
$\Downarrow$
$(x^2-4x-5)(x-2)^2>0$

$(x-5)(x+1)(x-2)^2>0$

Rysunek dla tego wielomianu znajduje się w załączniku, odczytujemy z niego, że:

$f'(x)>0$ dla $x\in (-\infty ,1)\cup (5,+\infty )$

$f'(x)<0$ dla $x\in (1,2)\cup (2,5)$

3) Zatem monotoniczność funkcji $f$ kształtuje się następująco:

$f$ jest rosnąca dla $x\in (-\infty ,1)\cup (5,+\infty )$

$f$ jest malejąca dla $x\in (1,2)\cup (2,5)$

4) Ekstrema lokalne funkcji $f$ :

Zmiana monotoniczności funkcji następuje jedynie w punktach $1$ i $5$ , więc:

$x=1$ jest maksimum lokalnym funkcji $f$

$x=5$ jest minimum lokalnym funkcji $f$

5) Rysujemy wykres funkcji $f$ - patrz załącznik.

Pozostałe przykłady należy rozwiązać analogicznie.