Wygrana w toto lotku daje ci do wyboru albo 800 000 dziś albo 42 000 zł na początku każdego roku twojego zycia. Nie masz długów a banki oferują 5% rocznie z tytułu odsetek. Która opcję byś wybrał zakladając, że bedziesz żył jeszcze: 40 lat, 50 lat, nigdy nie umrzesz. Bardzo prosze o rozwiazanie.

Skorzystam ze wzoru na procent składany oraz założę, że podatek wynosi zero złotych.
K_n=K_0\cdot \left ( 1+\frac{p}{100}\right ) ^n
a)
K_{40}=800.000\cdot \left (1+\frac{5}{100}\right )^{40}=800.000\cdot (1,05)^{40}\approx 5.631.990,97
Wpłacając na lokatę możesz po czterdziestu latach uzyskać ponad mln złotych.

Teraz rozpatrzmy sytuację, w której co roku inwestujesz nowe złotych, które na bieżąco otrzymujesz. Po czterdziestu latach będziesz miał:
K_{40}=42.000\cdot \left (1+\frac{5}{100}\right )^{40}+42.000\cdot \left (1+\frac{5}{100}\right )^{39}+\ldots +42.000\cdot \left (1+\frac{5}{100}\right )^{1}
Otrzymaliśmy pewien ciąg geometryczny o czterdziestu wyrazach, którego sumę możemy wyznaczyć ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego, zatem:
K_{40}=42.000\cdot 1,05\cdot \frac{1-(1,05)^{40}}{1-1,05}\approx 5.327.270,04
Okazało się, że jeżeli będziesz żył jeszcze 40 lat, to bardziej opłaca się wziąć od razu złotych.

Zobaczmy jak się to ułoży, jeżeli będziesz żył jeszcze lat:

b)
K_{50}=800.000\cdot \left (1+\frac{5}{100}\right )^{50}=800.000\cdot (1,05)^{50}\approx 9.173.919,83
A teraz druga opcja:
K_{40}=42.000\cdot 1,05\cdot \frac{1-(1,05)^{50}}{1-1,05}\approx 9.232.246,61
Zatem przy dłuższym okresie oszczędzania bardziej opłacalna jest opcja druga (jakbyś miał nie umierać, to też wybierz opcję drugą).