Dane są wektory $a_{1}$ = $[2 1 0 0]^{T}$ , $a_{2}$ = $[1 0 1 -1]^{T}$, $a_{3}$ = $[-2 1 1 0]^{T}$. a) Wyznacz wektory $B_{1}$ = $a_{1}$ + $a_{3}$ , $b_{2}$ = $a_{1}$ - 2$a_{2}$ + $a_{3}$ , $b_{3}$ = $a_{1}$ - $a_{2}$ - $a_{3}$ b) Wyznacz z definicji,czy układ wektorów $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ tworzy układ wektorów liniowo niezależnych. Jeśli nie to wskaż maksymalny układ takich wektorów. c) Zapisz zbiór wszystkich wektorów, będących nieujemną kombinacją liniową wektorów liniowo nie zależnych wskazanych w punkcie b).

Zadanie dodane przez kolumbiako , 25.11.2012 16:51

Dane są wektory $a_{1}$ = $[2 1 0 0]^{T}$ , $a_{2}$ = $[1 0 1 -1]^{T}$ , $a_{3}$ = $[-2 1 1 0]^{T}$ .
a) Wyznacz wektory $B_{1}$ = $a_{1}$ + $a_{3}$ , $b_{2}$ = $a_{1}$ - 2 $a_{2}$ + $a_{3}$ ,
$b_{3}$ = $a_{1}$ - $a_{2}$ - $a_{3}$
b) Wyznacz z definicji,czy układ wektorów $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ tworzy układ wektorów liniowo niezależnych. Jeśli nie to wskaż maksymalny układ takich wektorów.
c) Zapisz zbiór wszystkich wektorów, będących nieujemną kombinacją liniową wektorów liniowo nie zależnych wskazanych w punkcie b).

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 26.11.2012 08:41

a)

$b_1=[2100]^T+[-2110]^T=[0210]^T$

$b_2=[2100]^T+[-20-22]^T+[-2110]^T=[-22-12]^T$

$b_3=[2100]^T+[-10-11]^T+[2-1-10]^T=[30-21]^T$

b)

Z definicji układ wektorów jest liniowo niezależny, jeśli:

$\beta _1b_1+\beta _2b_2+\beta _3b_3=0\Leftrightarrow \beta _1=\beta _2=\beta _3=0$

Zatem:

$\left \{ \begin{array}{l}-2\beta _2+3\beta _3=0\\2\beta _1+2\beta _2=0\\\beta _1-\beta _2-2\beta _3 =0\\2\beta _2 +\beta _3=0\end{array}\right .$

Powyższy układ równań można rozwiązać np. metodą eliminacji Gaussa, wówczas otrzymamy rozwiązanie:

$\left \{ \begin{array}{l}\beta _1=0\\\beta _2=0\\\beta _3=0\end{array}\right .$

Zatem jest to układ wektorów liniowo niezależnych.

c)

$V=\left \{ \beta _1b_1+\beta _2b_2+\beta _3b_3\colon \beta _1\geqslant 0\wedge \beta _2\geqslant 0\wedge \beta _3\geqslant 0\right \}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: