Rozwiąż równanie: $(x-3)^2|sinx|=sinx$ w zbiorze $\left\langle 0;2\pi \right\rangle$

Zadanie dodane przez nieebieeski , 25.01.2012 10:25

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 26.01.2012 06:12

$ |\sin x|=\left \{ \begin{array}{l} \sin x \textrm{ dla }x\in \langle 0;\pi \rangle \\ -\sin x \textrm{ dla }x\in ( \pi ;2\pi \rangle \\ \end{array}\right . $

Wobec powyższego równanie to należy rozwiązać z rozpatrzeniem dwóch przypadków:

1) $x\in \langle 0;\pi \rangle$

$(x-3)^2\sin x=\sin x$
$(x-3)^2\sin x-\sin x=0$
$\sin x \left ( (x-3)^2-1\right )=0$
$\Downarrow$
$1^{\circ }$ $\sin x=0$
a więc $x\in \{ 0, \pi \}$
lub
$2^{\circ }$ $(x-3)^2-1=0$
$x^2-6x+9-1=0$
$x^2-6x+8=0$
$\Delta =36-32=4$ , $\sqrt{\Delta }=2$

$x=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4\notin \langle 0;\pi \rangle$
lub
$x=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$

Podsumowując w tym przedziale rozwiązaniem jest:
$x\in \{ 0,2,\pi \}$

2) $x\in ( \pi ;2\pi \rangle$

$(x-3)^2* (-\sin x)=\sin x$
$-(x-3)^2\sin x-\sin x=0$
$-\sin x \left ( (x-3)^2+1\right )=0$
$\Downarrow$
$1^{\circ }$ $\sin x=0$
a więc $x\in \{ 2\pi \}$
lub
$2^{\circ }$ $(x-3)^2+1=0$
$x^2-6x+9+1=0$
$x^2-6x+10=0$
$\Delta =36-40=-4<0\Longrightarrow$ brak rozwiązań

Podsumowując w tym przedziale rozwiązaniem jest:
$x\in \{ 2\pi \}$

Zatem ostateczna odpowiedź to:
$x\in \{ 0,2,\pi ,2\pi \}$

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Rozwiąż równanie: $(x-3)^2|sinx|=sinx$ w zbiorze $\left\langle 0;2\pi \right\rangle$

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: