Wyznacz najmniejsza wartość funkcji $f(x)=2(3\cos^2 x+1)^2-12(3\cos^2 x+1)+16$, gdzie $x\in R$. W książce mam podpowiedź, żeby dokonać podstawienia: $t=3\cos^2 x+1$ i zauważyć, że wówczas $t\in \langle 1;4\rangle$ Wzór funkcji wygląda wtedy tak: $f(x)=3t^2-12t+16$, ale ja nie wiem skąd mam wywnioskować, że $t\in \langle 1;4\rangle$.

Zadanie dodane przez nieebieeski , 26.01.2012 20:05

Wyznacz najmniejsza wartość funkcji
$f(x)=2(3\cos^2 x+1)^2-12(3\cos^2 x+1)+16$ , gdzie $x\in R$ .

W książce mam podpowiedź, żeby dokonać podstawienia:
$t=3\cos^2 x+1$ i zauważyć, że wówczas $t\in \langle 1;4\rangle$

Wzór funkcji wygląda wtedy tak:
$f(x)=3t^2-12t+16$ , ale ja nie wiem skąd mam wywnioskować, że $t\in \langle 1;4\rangle$ .

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez asica , 26.01.2012 21:54

najlepiej zobaczyć to na wykresie, wystarczy tylko znać przekształcenia wykresów:
zbiór wartości funkcji cosinus wynosi $<-1;1>$
zbiór wartości $cos^2x$ to $<0,1>$ , z racji tego, że liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna
zbiór wartości $3cos^2$ to po prostu $<0;3>$
no i na koniec przesuwamy wykres o 1 jednostkę w górę i ostateczny zbiór wartości wynosi $<1;4>$

mam nadzieję, że wszystko jest zrozumiałe teraz, a dalej już wiadomo co robić ;)

- nieebieeski 27.01.2012 09:58
  
  No już rozumiem skąd bierze się ten przedział, ale teraz nie wiem w takim razie jak obliczyc najmniejsza i największą wartość, tym bardziej ze w odpowiedzi jest, że największa wartość to 6, a najmniejsza to -2, czyli wartości poza zbiorem wartości.
- d_mek 27.01.2012 16:45
  
  Przeczytaj to co sam napisałeś... WARTOŚĆ czyli f(x) w twoim przypadku f(t), a że to będzie parabola z ramionami ku górze (a>0) , to będzie tylko najniższy punkt (wierzchołek (p,q)). Czyli najmniejszą wartością będzie q=-delta/4a czyli q=-2
  P.S. Źle napisałeś ostatnią linijkę w zdaniu... powinno być 2t^2
- d_mek 27.01.2012 16:49
  
  Zapomniałem, że t należy do przedziału... czyli najwyższy punkt też będzie, dla t=1 czyli f(t)=2-12+16= 6
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: