rozwiąż równanie [tex]\sin^{4} \frac{x}{2} + \cos^{4} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}[/tex] w przedziale [tex][/tex] Ja zapisałam: [tex](\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} )^{2} - a\sin^{2} \frac{x}{2} \cdot \cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}[/tex]

Zadanie dodane przez kamiolka28 , 22.02.2012 11:26

rozwiąż równanie
$\sin^{4} \frac{x}{2} + \cos^{4} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}$
w przedziale $<-\pi , \pi>$
Ja zapisałam:
$(\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} )^{2} - a\sin^{2} \frac{x}{2} * \cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}$

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 22.02.2012 14:29

Ze wzorów skróconego mnożenia:
$sin^{4}\frac{x}{2} + cos^{4}\frac{x}{2} = \frac{5}{8}$
$(sin^{4}\frac{x}{2} + 2sin^{2}\frac{x}{2}*cos^{2}\frac{x}{2} + cos^{4}\frac{x}{2}) - 2sin^{2}\frac{x}{2}*cos^{2}\frac{x}{2} - \frac{5}{8} = 0$
$(sin^{2}\frac{x}{2} + cos^{2}\frac{x}{2})^{2} - 2sin^{2}\frac{x}{2}*cos^{2}\frac{x}{2} - \frac{5}{8} = 0$
Z jedynki trygonometrycznej:
$1^{2} - 2sin^{2}\frac{x}{2}*cos^{2}\frac{x}{2} - \frac{5}{8} = 0$
$\frac{3}{8} - (\sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2})^{2} = 0$
$(\sqrt{\frac{3}{8}})^{2} - (\sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2})^{2} = 0$
$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}) * (\frac{\sqrt{6}}{4} + \sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}) = 0$ $\Leftrightarrow$
$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2})= 0$ lub $(\frac{\sqrt{6}}{4} + \sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2})= 0$
$\sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}= \frac{\sqrt{6}}{4}$ lub $\sqrt{2} sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}= - \frac{\sqrt{6}}{4}$
$2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}= \frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(2*\frac{x}{2})= \frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $sin(2*\frac{x}{2})= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin x= \frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $sin x= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
Dorzucasz przedział:
$\left\{ \begin{array}{l} sin x= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x\in<-\pi;\pi> \end{array} \right.$ lub $\left\{ \begin{array}{l} sin x= - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x\in<-\pi;\pi> \end{array} \right.$

Rozwiązaniami są:
$x_{1}= \frac{\pi}{3}, x_{2}= \frac{2\pi}{3}, x_{3}= - \frac{\pi}{3}, x_{4}= - \frac{2\pi}{3}$

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]

- kamiolka28 26.02.2012 11:14
  
  Pytanie:
  Jak zrobiłeś:
  &2sinx2∗cosx2=32 lub 2sinx2∗cosx2=−32&
  &sin(2∗x2)=32 lub sin(2∗x2)=−32 &
  
  ??
- d_mek 26.02.2012 11:35
  
  Po pierwsze, jeżeli chcesz kopiować kody latex, to naciśnij prawym przyciskiem myszy i show source...
  Po drugie. chyba chodziło ci o fragment:
  $2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}= \frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}= - \frac{\sqrt{3}}{2}$
  Przekształcasz to z funkcji podwojonego kąta:
  $sin2\alpha = 2*sin\alpha*cos\alpha$
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

rozwiąż równanie [tex]\sin^{4} \frac{x}{2} + \cos^{4} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}[/tex] w przedziale [tex][/tex] Ja zapisałam: [tex](\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} )^{2} - a\sin^{2} \frac{x}{2} \cdot \cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{5}{8}[/tex]

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: